Hogy kell megoldani ezt az egyenletet?

Az nevet igazán, aki utoljára nevet. :-)

A "megoldhatatlan" egyenlet:

x + 3y + x/y = 2010

Több helyen is találkoztam már a 2010-es számmal, és rémlik, hogy jól használható az ilyen jellegű feladatokban, de nem ugrott be, mi a trükkje. Ezért jobb híján elindultam a saját fejem után. :-)

A 2010 osztóira biztos szükség lesz, ezért először ezeket határoztam meg:

2010 = 2*3*5*67

vagyis összesen 2^4 = 16 osztója a bogaramnak.

Zavart az x/y a bal oldalon, akkor menjen a másik oldalra

x + 3y = 2010 - x/y

Ha ki kell vonni 2010-ből, mi lenne, ha olyan érték lenne, ami 2010 egyik osztópárjának az egyik tényezője. Az osztópárok szorzata az illető számot adja.

2010 osztópárjai

2010 = p*q

p q

1 2010

2 1005

3 670

5 402

6 335

10 201

15 134

30 67

tehát legyen

x/y = p

akkor

x = p*y

ha ezt az eredeti egyenletbe behelyettesítem

p*y + 3y = p*q - p

egy kis rendezkedés után

y(p + 3) = p(q - 1)

és

y = p(q - 1)/(p + 3)

vagyis van egy egyenletünk az egyik változó meghatározásához az osztópárok függvényében.

Biztos van elegánsabb módszer is a megoldásra, hosszas nyűglődés után a próbálgatásnál maradtam.

Nem találtam olyan módszert, átalakítást, amivel ki lehetett volna zárni osztópárokat, vagy olyan formára hozni az egyenletet, amiből egyszerűbben adódna a megoldás.

Ráadásul a p és q értékek felcserélésével kapott osztópárok is elvileg megoldást jelenthetnek. Ezeket is végignézve, a próbálgatás eredményeként arra jutottam, hogy egyetlen osztópár adja a megoldást, miszerint

x/y = p = 30,

a párja: q = 67

így

y = 60

x = 1800

========

páros a megoldása az eredeti egyenletnek.

1800 + 3*60 + 30 = 2010

Azért sem tökéletes a megoldás, mert van egy olyan x, y pár ami kielégíti az eredeti egyenletet, de a képletből nem adódik, ez pedig az

x = 0

y = 670

páros.

Ezért is várom a számelméletben jártasabbak hozzászólását.

Most lehet röhögni! :-)

DeeDee

**********

Én inkább abban az irányban haladnék, hogy paraméteres másodfokú egyenletet kapjak. De legelőször is: y nem lehet 0, ezt tudjuk. Aztán beszorzom az egészet y-al:

xy + 3y^2 + x = 2010y

3y^2 + (x - 2010)y + x = 0

Ezekután felírom a megoldóképlet:

(2010 - x +- sqrt((x-2010)^2 - 12x))/6

= 2010 - x +- sqrt(x^2 - 4032x + 4040100) / 6

Na most megyek fürdeni.

x+3y+x/y=2010 |*y

xy+3y^2+x=2010y

xy+x=2010y-3y^2

x(y+1)=2010y-3y^2

x = (2010y-3y^2)/(y+1)

y nem eleme {0,-1}

Végtelen megoldás létezik.