Egy négyjegyű szám valamelyik két sámjegyét felcserélve az eredeti szám hatszorosát kapjuk. Melyik ez a nyégyjegyű szám?

Legyen

A - az eredeti szám

B - a felcserélés utáni szám

amire érvényes

(1) B = 6A

ill

(2) A = B/6

A számjegyek készlete a,b,c,d

(1)-ből adódik, hogy A első számjegye csak 1 lehet.

(2)-ből adódik, hogy B utolsó számjegye páros kell legyen

A készletből eddig két szám biztos

a = 1

b = 2n

ahol n > 0 egész szám

Mivel (2) alapján 3|B, A és B számjegyeinek összege azonos és osztható kell legyen 3-mal

Vagyis

a + b + c + d = 3k (k>= 0 egész szám)

1 + 2n + c + d = 3k

ill.

k = (1 + 2n)/3 + (c + d)/3

k = (1 + 2n)/3 + (c/3 + d/3)

Az első tagból adódik, hogy

n = 1 vagy

n = 4

vagyis

b = 2 vagy

b = 8

A második tagból adódik, hogy

c és d = 3, 6, 9 számokból választható

Így a számjegy készlet

1, 2, 3, 6, 8, 9

Mivel a legnagyob 6-tal osztható 4 jegyű szám 6*1666, 'A' második jegye <= 6 lehet.

Tehát

A = 12_ _ vagy 13 _ _ vagy 16_ _

formájú lesz

A hiányzó két számjegy a

3, 6, 8, 9 ill. 2, 6, 8, 9 ill. 2, 3, 8, 9 számok valamelyike lehet.

Az így szóba jöhető variációk számát azért még lehet csökkenteni.

A

2.↔3., 2.↔4., 3.↔4.

csere kiesik és marad az

1.↔2., 1.↔3., 1.↔4.

csere.

De B csak páros lehet, és mivel az első számjegy 1, ezért az 1.↔4. kiesik, mert így páratlan számot kapnánk.

Marad az 1.↔2. vagy 1.↔3.

Mivel A = 12_ _ vagy 13 _ _ vagy 16_ _ alakú lehet, a két első jegyet felcserélve a létrejövő 21_ _, 31_ _, 61_ _ számokkal nem lehet elérni a 6*16_ _ értéket, tehát az 1.↔2. csere kiesik, és marad a 1.↔3. csere.

Ez egyben azt is jelenti, hogy az utolsó számjegy a helyén marad, és ez csak páros lehet, ezért az értéke 6 vagy 8.

Tehát ott tartunk, hogy a lehetséges alakok:

12_6, 12_8

13_6, 13_8

16_6, 16_8

A harmadik szám lehetséges értékei: 3, 6, 8, 9.

Csereszámként a 3 kiesik, mert a szükségesnél kisebb számot adna, így marad 6, 8, 9.

Ezekkel még mindig 18 lehetőség van, s a további csökkentéshez nem találtam jobb módszert a próbálgatásnál.

A kialakítható, 3-mal osztható számok

1266, 1296

1386

1368, 1398

1686

1668, 1694

Ezekből a feladat feltételének csak az

A = 1386

=======

felel meg.

DeeDee

***********