Egy négyjegyű szám valamelyik két sámjegyét felcserélve az eredeti szám hatszorosát kapjuk. Melyik ez a nyégyjegyű szám?

A számjegyek összegének oszthatónak kell lennie hárommal és a felcserélés után az utolsó számjegynek kettővel oszthatónak kell lennie

Továbbá, ha megcseréltük a számjegyeket, akkor a legnagyobb helyi értékű számjegynek nagyobb egyenlőnek kell lennie, mint hat, különben 6-tal osztva 1000-nél kisebb számot kapnánk és az már nem felelne meg a kritériumnak.

Az látszódik, hogy biztosra az első számot kell kicserélni valamelyik másikkal.

Az viszont nem lehetséges, hogy az elsőt cseréljük ki a másodikkal, mert akkor a második helyre csak a 6-ost írhatnánk, de akkor 16xy*6=9xyz, nem pedig 61xy.

Tehát vagy a harmadikat cseréljük fel az elsővel vagy a negyediket.

Amúgy bocsi, hogy 100 részletben írom le, de közben máson is gondolkodom és leírom azt ameddig már eljutottam :)

Azon számjegyet, amit kicserélünk az elsővel csak a 6-ot, 7-et, 8-at vagy a 9-et veheti fel értékként.

Tehát ezek közül valamelyik biztosan szerepel majd az eredeti számban

Írjuk fel a számot a következő alakban:

1xyz

Most ha felcseréljük az első és az utolsó számjegyet

zxy1

Ennek pedig hatszorosának kell lennie az 1xyz-nek, de z egy egész szám és nem létezik olyan z egész szám, amit ha megszorzunk 6-tal, akkor páratlan számot kapnánk eredményül.

Tehát csak az a lehetőség jöhet szóba, amikor is az első és a harmadik számjegyet cseréljük fel.

Tudjuk, hogy:

YX1Z-6*1XYZ=0

Amiből következik, hogy Z=(6Z)mod10, tehát Z egy páros szám.

Valamint tudjuk, hogy X<=6 és Y>=6.

Ezzel már leszűkítettük a lehetőségek számát 140-re.

De azt is tudjuk, hogy X=6, akkor Y=9.

961Z-6*169Z=0, de ez nem lehet megoldás, mert 1690*6>9999.

Valamint ennek is igaznak kell lennie:

(6Y+(6Z-(6Z)mod10)/10)mod10=1

(6Y+Z/2)mod10=1

[ha Z egy páros szám, és megállapítottuk már, hogy Z páros]

Ezzel lecsökkentettük a lehetséges Y és Z párokat 20-ra (és még a modulot nem vizsgáltuk)

E=(6Y+Z/2)mod10

----

Y: 6

Z: 0

E: 6

----

Y: 6

Z: 2

E: 7

----

Y: 6

Z: 4

E: 8

----

Y: 6

Z: 6

E: 9

----

Y: 6

Z: 8

E: 0

----

Y: 7

Z: 0

E: 2

----

Y: 7

Z: 2

E: 3

----

Y: 7

Z: 4

E: 4

----

Y: 7

Z: 6

E: 5

----

Y: 7

Z: 8

E: 6

----

Y: 8

Z: 0

E: 8

----

Y: 8

Z: 2

E: 9

----

Y: 8

Z: 4

E: 0

----

Y: 8

Z: 6

E: 1

----

Y: 8

Z: 8

E: 2

----

Y: 9

Z: 0

E: 4

----

Y: 9

Z: 2

E: 5

----

Y: 9

Z: 4

E: 6

----

Y: 9

Z: 6

E: 7

----

Y: 9

Z: 8

E: 8

----

Ha végignézzük a számolást, akkor láthatjuk, hogy csak 1 jó megoldás található:

Y=8

Z=6

Ekkor a számunk már a következő alakú:

1X86

Tehát:

8X16-6*1X86=0

8016+100X-600X-6516=0

1500=500X

X=3

Így a keresett szám: 1386

Ez és csak ez lehet a megfelelő megoldás

Bocsi, ha néhol nem túl érthetően írtam, de elég fáradt vagyok, mert egész éjjel analízist tanultam, ezt pedig levezetésnek szántam :)