Honnan tudjuk, hogy deriválható-e egy függvény?

Nem tanították meg iskolában? Mert nagyon úgy teszed fel a kérdést, mint akinek ezt már tudnia kéne, legalábbis utánanézni.

Amúgy definícióból kiindulva akkor, ha (egyváltozós, valós függvényeket tekintve) létezik a határértéke az (fx-fx0)/(x-x0)-nak, x tart x0-hoz. Ha ez az egész, általunk megkívánt halmazon létezik minden pontra, akkor ott létezik a derivált. Második derivált meg ugyanez, csak a derivált függvénnyel...

Az ilyen magasabb szintű, következményekből következő elégséges feltételeknek (folytonosság meg ilyesmik) meg nézz utána a jegyzetedben.

nem deriválható pl. az abszolútérték-függvény 0-ban, vagy minden olyan függvény, ami "csúcsos" a "csúcsában".

szintén nem deriválható egy függvény egy pontban, ha annak egy környezetében nem folytonos, tehát pl. az egészérték fv nem deriválható az egész számokon.

Vannak sehol sem deriválható folytonos függvények.

Ha a függvény folytonos, akkor kell, hogy az adott szakaszon ne legyen csúcsa, vagy töréspontja.

A grafikon érintője a derivált segítségével számítható. Ahol nincs érintő, ott nincs derivált sem.