A négyzetgyökvonás azonosságai ezért vannak nemnegatív számokon definiálva?
Tekintsük az alábbi azonosságot: sqrt(ab) = sqrt(a)*sqrt(b), ahol a és b nemnegatívak.
Tudom, hogy valós értelmezésben negatív számnak nem létezik a négyzetgyöke, azonban, ha a is és b is egyszerre negatívak (konkrét példa kedvéért legyenek egyenlőek -2-vel), akkor a szorzatuk pozitív, ami a fenti azonosság bal oldalán értelmezhető valós esetben. De szétbontva a jobb oldalon már csak komplex esetben.
Értelmezzük a=b= -2 esetet komplex számok halmazán:
bal oldal: sqrt((-2)*(-2)) = sqrt(4) = 2
jobb oldal: sqrt(-2)*sqrt(-2) = i*sqrt(2)*i*sqrt(2) = (i^2)*2 = -2
vagyis komplex számhalmazon értelmezve sem ugyanazt az eredményt kapnánk, pedig azt gondolnánk elsőre. Ezért kell feltételbe rakni, hogy a és b nem negatívak?
Továbbá lenne még kérdésem, ezúttal a hányados négyzetgyökével kapcsolatban:
Tekintsük: sqrt[(x+3)/(x-1)] kifejezés értelmezési tartományát!
A hányados négyzetgyökére vonatkozó azonosság alapján: sqrt(x+3)/sqrt(x-1), ebből pedig x>=-3 és x>1, amelyből x>1 a közös intervallum.
De! Az eredeti hányados megvizsgálva rájövünk, hogy ha a számláló és nevező egyszerre negatív értéket vesznek fel, akkor a tört értéke pozitív, így már lehet belőle gyököt vonni. Tehát az x>1 intervallum mellé még az x<=-3 esetet is be kell venni.
A szétbontással elvesztettük az értelmezési tartomány egy részét. Ilyenkor nem érvényesek az azonosságok? Mi a teendő?
válasza:
válasza:A szabályok helyes használata a kulcs.
A négyzetgyökvonás a valós számkörben a nemnegatív számokra van értelmezve, és az értéke szintén nemnegatív. A komplex számkörben értelmezve van negatívokra is azzal a megkötéssel, hogy definíció szerint a gyök(-1) egy tiszta képzetes egység. Viszont e számkörben a gyöknek két megoldása van, egy pozitív és egy negatív.
A gyök(4) értéke a valós számok esetén tehát 2, a komplex számok között azonban +2 és -2. A megoldásból definíció szerint nem hagyható el a másik.
válasza:(#2 az utolsó mondatod butaság, ott valamit túlgondoltál.)
Van egy feladat ami erre a kérdésre világít rá:
1 = gyök(1) = gyök(-1*-1) = gyök(-1)*gyök(-1) = i*i = -1
Hol a hiba? A 3. egyenlőségnél, ugyanis AZ nem igaz!
Van különbség egy szám gyöke és a gyök() függvény között. (pl 4 gyökei 2 és -2 de gyök(4)=2, ill. -1 gyökei i és -i de gyök(-1)=i. Gyök több lehet, de egy függvény csak egy értéket vehet fel. Nincs olyan valós szám melynek négyzete negatív valós szám, ezért nem is definiálhatjuk a gyökfüggvényt a negatív számokon, nem valami azonosság az oka.
Ha a komplpex számokra gondolunk, akkor viszont van negatív számnak gyöke, így kiterjeszthető a gyök() függvény negatív számokra. Ebben az esetben is két szám négyzete lehet negatív szám, ebből, viszont a kisebbik argumentummal rendelkezőt választjuk (komplex számoknál nincs pozitív/negatív értelmezés) A komplex számokra érvényes gyök() függvény pedig nemnegatív valós számokra a valós számokon értelmezett gyök() függvényt adja eredményül (a pozitív számok, mint komplex számok argumentuma kisebb mint a negatív számoké)
gyök(1)*gyök(1)= definíció szerint =1=gyök(1)=gyök(-1*-1)
gyök(-1)gyök(-1)= definíció szerint =-1
A kettő nem lehet egyenlő.
Tehát a gyök() alatti részben felírtad a számot két olyan szám szorzataként mely számokat nem úgy választottad meg, hogy a kisebbik argumentummal szerepeljenek, amely nincs összhangban a gyök definíciójával. Mit értek alatta: valós esetben a pozítív számnak van kisebb argumentuma, így csak pozitív számok szorzatára bontható a gyök alatti kifejezés. Komplex esetben pedig a szorzatra bontás feltétele hogy a tagok nagyságának szorzata az eredeti szám nagysága legyen, az argumentumok mindegyike pedig minimális, PONTOSAN ekkor lehet tagonként gyököt vonni. Ha nem így történik akkor a nagyság bár megegyezik de az eredmény argumentuma el fog térni.
A fenti esetben |1|=|-1| de arg(1)=0 és arg(-1)=pí (vagy 180 fok). (miközben 1 egyik gyöke valóban -1)
Ha a szorzatra bontás egyik tagja nem a legkisebb argumentummal szerepel, akkor annak gyöke sem a legkisebb argumentumként áll elő, ami viszont szorzással sem a legkisebb argumentumú eredeti gyökét állítja elő az eredeti számnak, pedig a gyökfüggvény a legkisebbet állítja elő, ezért nem lesznek egyenlőek, ezért nem lehet tagonként gyököt vonni.
válasza:Például (r, fí) alakban ahol 0<=r és 0<= fí < 360
(12,220)=(2,10)(2,60)(3,150) mert 2*2*3=12 és 10+60+150=220
gyök((12, 220))=(gyök(12),110)
(gyök(2),5)(gyök(2),30)(gyök(3),75)=(gyök(12),110) - itt vonható tagonként gyök
DE
(12,220)=(2,130)(2,180)(3,270)=(12,220+360) egy másik felbontás
(gyök(2),65)(gyök(2),90)(gyök(3),135)=(gyök(12),290) =/= (gyök(12),110)
De látszik, hogy 290=110 + 180= 110 + 360/2
DE
(12,220)=(2,310)(2,280)(3,350)=(12,220+2*360)
(gyök(2),155)(gyök(2),140)(gyök(3),175)=(gyök(12),470)=(gyök(12),110) szintén jó.
Tehát az előző hozzászólásom javítanám: az argumentumok összege olyan kell legyen tagonkénti gyökvonást lehetővé téve hogy fí+2*k*2pí=arg1+arg2+arg3+...
n. gyök esetén pedig fí+n*k*2pí.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!