Leírná valaki nekem mit ábrázol egy bifurkációs diagram, egy olyan embernek aki hülye a matekhoz?

Kb. ezeknek a "poszt-konceptuális szintetizátor" nevű cuccoknak a működési sémája írható le ehhez hasonló diagramokkal:

[link]

[link]

[link]

Mivel látom az előttem lévőm minden random témát behoztak, csak a feltett kérdésre nem válaszoltak, elmagyarázom.

Pár fogalmat tisztázni kell elöljáróban. Dinamikai rendszernek nevezünk bármi olyan dolgot, ami időben változik és leírható egyenletekkel. Ez a fizikában általában a világ egy elkerített része, egy hullahoppkarika, egy inga stb., de tágabb értelemben lehet akár egy gazdasági piac vagy egy matematikai függvény is. A rendszerek állapotait sokszor egy elképzelt "állapottéren" szemléltetjük. Pl. egy inga állapottere nem a háromdimenziós tér lesz, ahol az valójában létezik, hiszen a mozgása erősen röghöz kötött, sokkal egyszerűbben és ugyanolyan egyértelműen meghatározza egy pillanatnyi állapotát pl. a középponttól való kitérés szöge. Így az inga "állapottere" egyetlen számmal jellemezhető, ezzel a szöggel. Sok dinamikai rendszer szeret spontán beállni bizonyos állapotokba és utána úgy maradni. Ezeket a pontokat, amikbe a rendszer hajlamos fejlődni egyensúlyi pontoknak hívjuk.

Képzeljünk el egy pörgő hullahoppkarikát, amire fel van fűzve egy gyöngy. Mint kiderül, ha a hullahoppkarikát lassan pörgetjük, a gyöngy (bárhol is van a pörgetés indításakor) mindig a karika egy adott pontjára fog vándorolni és ott is marad, amíg a karika pörög. A karikának ez a része egy egyensúlyi pont. De ahogy elkezdjük a sebességet növelni, ahogy a karika egyre gyorsabban pörög, egy adott ponton a gyöngy hirtelen félremegy a karika valamelyik oldalára és onnantól kezdve ott marad. Az, hogy éppen melyik oldalra áll be véletlenszerű. Tehát azt látjuk, hogy a dinamikai rendszerünknek (gyöngy + karika) a forgatási sebesség bizonyos értékein egy egyensúlyi pontja volt, majd egy adott ponton ez az egyensúlyi pont kettévált, onnantól kezdve két különböző állapotba volt hajlamos vándorolni a gyöngy (mikor éppen merre, ha sokszor megismételjük a kísérletet).

Ezt nevezzük bifurkációnak: egy dinamikai rendszer egyensúlyi pontjainak hirtelen kvalitatív változása egy (vagy több) paraméter folytonos változtatása mellett.

A bifurkációs diagramon az x tengely a bifurkációs paramétert mutatja (karika forgási sebessége). X minden értékénél újra és újra megmérjük, hogy milyen állapotban van a rendszer (hol van a hullahoppkarikán a gyöngy), ezt megcsináljuk sokszor (pl. 100-szor) és a kapott pontokat az Y tengelyen jelöljük. A te ábrádon sokáig csak egy vonalat látunk, mert azokon a forgási sebességeken a rendszer állapota (a gyöngy helye a karikán) mindig ugyanott volt, mind a 100 pont arra a vonalra esett. Amikor azonban elértük a bifurkációs paraméter "kritikus" értékét, hirtelen kettéágazik a vonal, mert onnantól kezdve a 100 mérésünknek kb. a felében az egyik új egyensúlyi ponton találjuk a gyöngyöt, a másik felében pedig a másikon. Tehát a diagram ezt ábrázolja, az adott (egydimenziós állapotterű) dinamikai rendszer egyensúlyi pontjainak hirtelen kettéágazását.

Az általad linkelt képen a logistic map bifurkációs diagrammja látható.

[link]

Adott egy barátságosnak tűnő, egyszerű képletű sorozat: x rákövetkező eleme rx(1-x). Választasz egy r paramétert, majd a sorozatot elindítod egy tetszőleges 0 < x < 1 értékről, és számolgatod jó sokáig. Ha r<3, akkor tökmindegy hogy pontosan milyen x-ről indítod, hosszú távon a sorozat egy fix értékhez fog tartani, amit leolvashatsz a diagrammról.

Ha r egy kicsivel 3 felett van, akkor hosszú távon a sorozat két érték között fog oda-vissza pattogni. Erre mondjuk, hogy a rendszernek r=3 paraméter körül bifurkációja van, mivel r<=3-ra gyökeresen máshogy viselkedik, mint r>3-ra.

Ha tovább növeled r-et, akkor r=3.45-nél a sorozat kettő helyett négy érték között fog pattogni, ami egy újabb bifurkáció, újabb minőségi változás. Ez a duplázódgatás folytatódik egy darabig, majd r>3.57-nél szétesik az egész, kaotikus lesz a sorozat, nem véges számú adott érték között ugrál, hanem a számegyenesen össze-vissza. A diagrammon minél sötétebb egy adott pixel, annál gyakrabban megy azon érték közelébe. Néhány kitüntetett r-re (3.82 körül) visszatér némi rend, ami a diagrammon is látszik.