A matematikában mi számít változónak?

A leginkább szemiotikai (jelelméleti), azon belül formális szemantikai magyarázatot lehet adni.

Először is: a matematika minden ága egy külön nyelv. Egészen szó szerint, tehát úgy, mint pl. a magyar vagy a német.

Megvan a nyelve az algebrának, a geometriának, az analízisnek, a halmazelméletnek stb.

Minden nyelv jelrendszer. A jel olyan valóságdarab (fizikai jelenség), amely hatására a tudat egy másik fizikai jelenségre asszociál. A jelnek van egy jelteste (pl. az A betű esetében a festékpötty a papíron, vagy a fekete színű pixelek a monitoron), van egy ún. jelölete vagy denotátuma - pl. az a betűnek az A hang. Vagy pl. a "macska" szónak a macska fogalma.

A jelek többsége tehát jelent valamit. A jelentések által jelentett dolgok öszessége (halmaza, osztálya) az illető nyelv által leírt univerzum. Pl. a számelmélet univerzuma a számok, a geometria univerzuma valamely halmaz elemei, amiket pontoknak nevezünk, valamint a pontokból képezett alakzatok. A természetes nyelvek (német, angol stb.) univerzuma ennél bővebb, tulajdonképp minden, amiről beszélni lehet egyáltalán, de a szaktudományoknál és tudományos elméleteknél, így a matematikában is, az "univerzum" korlátozott és behatárolt.

Amikor egy jel nem az univerzum egy meghatározott elemét, egy dolgot jelöli, hanem mindezt határozatlanul vagy általánosan teszi, akkor a természetes nyelvekben névmásokról beszélünk, a matematika nyelvén belül pedig változókról. A névmás nem egy, az univerzumben egyedként megragadott objektumot jelöl, hanem kifejezi a beszélőnek bizonyos objektumokkal kapcsolatos elvontabb, mennyiségi és közvetlenségi viszonyait is.

A változó a matematikában elsősorban két dologra jó.

Először is, rámutat sok dologra, azaz egy halmaz elemeire anélkül, hogy egyet is megnevezne.

Pl. az "x+1=2" (vagy precízebben az "Ex|x+1=2") mondat azt jelenti, hogy "valamilyen számhoz hozzáadok egyet, és kettő lesz belőle" hasonlít az olyan természetes nyelvi mondathoz, hogy "valaki ott megy az utcán", vagy "az (az ember) megy az utcán". Nem nevezem meg, csak rámutatok, mivel nem vagyok közelebbi és előzetes ismeretségben vele, de a "valaki" határozatlan / mutató névmás segítségével meg tudom nevezni. A kétfajta használat (határozott mutatás / határozatlan mutatás) között inkább csak hangsúlybeli, mint logikai különbség van, a határozott rámutatásnál a cselekvő a hangsúlyos, a határozatlan névmás esetében viszont a cselekvés. A matematikában a vonatkozó névmás helyett azt mondjuk, "ismeretlen", és ez egyfajta változó.

Ezt a mondatot sokszor máshogyan értik. Egy halmaz minden eleméről is állíthatok egy mondatot. Pl. az A=(xeN|x+2<10) halmaz-meghatározásban ("az A halmaz azoknak a természetes számoknak a halmaza, amikhez ha kettőt adok, az eredmény nyolcnál kisebb") az x betű változó, amely a természetes nyelvekben az általános ill határozatlan névmásnak (bárki, bármennyi, akárki stb.) felel meg.

Még annyit, hogy az újkor elején a változót mint mennyiséget értelmezték. Gottlob Frege jénai matprof az 1800-as évek vége felé adott nyelvi értelmezést a változó fogalmának, amikor a fogalmakat két csoportra osztotta: egyediekre és általánosakra, és bevezette a fogalomfüggvényeket mint a matematika logikai leírásának alapeszközeit. Érdemes az ő könyvét is elolvasni, ami magyarul "Logika, szemantika, matematika" címen jelent meg.