Ha vannak négyszögek és háromszögek, melyikből menni van, ha a csúcsaik összege 47?

3x + 4y = 47

De ezt ennyiből nem lehet kiszámolni, hisz több megoldás is helyes lehet.

Egyenlet:

x*4 + y*3 = 47

Utana en vegigprobalgatnam a szamokat, hogy melyik ad ki egesz szamu megoldast. pl y = 1 eseten

x * 4 + 3 = 47, ha x-et kiszamolod akkor 11 jon ki

legyen y = 2 eseten:

x * 4 + 6 = 47 mindketeoldalbol kivonok hatot

x*4 = 41 41 nem oszthato 4-egy ezert nem megoldas

Mivel két ismeretlen szerepel a feladatban, ezért két egyenlet kell a megoldáshoz.

Mivel itt csak egyet lehet felállítani, ezért csak találgatással lehet megoldani, matematikailag nem.

". Tudom hogy a lehetséges helyes megoldások 5 négyszög és 9 háromszög, illetve 11 -1."

No meg még 2 négyszög és 13 háromszög, és a 8 négyszög és 5 háromszög megoldás is helyes.

A 47 hárommal osztva 2 maradékot ad. Ez nyilván csak a négyszögekből jöhet össze, hiszen a háromszögek csúcsainak számának összege értelemszerűen hárommal osztható. A négyszögek viszont négyszögenként 1 maradékot adnak (ami nyilván minden harmadik után nullázódik). Tehát a négyszögek száma is 2 maradékot kell, hogy adjon hárommal osztva.

Tehát a négyszögek száma 3n+2 alakban írható fel. (Ahol az n egész szám, méghozzá 0 és 3 közötti. 0-nák kisebb nem lehet, legalábbis negatív számú négyszöget elég nehéz értelmezni. (Bár nyilván számszakilag kijönne eredmény.) 3-nál nagyobb meg azért nem lehet, mert akkor meg anégyszögek csúcsainak összege nagyobb lenne 47-nél.)

Ha behelyettesíted a 3n+2 képletbe a számokat 0-tól 3-ig, megkapod a négyszögek lehetséges számait, amiből már könnyű a háromszögek számát kiszámolni.

#4, amit írsz, az egy általános tévhit, amit már számtalanszor leírtam, miért az, nem fogom újra.

Valóban több megoldása van, de sokkal egyszerűbben levezethető:

4x + 3y = 47, vonjunk ki x-et:

3x + 3y = 47-x, majd egy kiemelést követően:

3*(x+y) = 47-x

Mivel x;y egész, ezért az egyenlet két oldalán mindenképp egész számok szerepelnek. Emiatt a bal oldalon lévő szám osztható 3-mal, ezért a jobb oldalon lévő számnak is oszthatónak kell lennie (mivel egyenlőek). Emellett a bal oldal pozitív, így a jobb oldalnak is pozitívnak kell lennie, emiatt x lehetséges értéke 1 és 46 között mozognak. Ha tovább vizsgáljuk az egyenletet, még ezt is lehet szűkíteni.

A lényeg, hogy ez az átalakítás azért jó, mert a 47-x esetén könnyedén el tudjuk dönteni, hogy x helyére milyen fajta számokat írhatunk (ez az ominózus x=3n+2), innentől már csak ezeket kell végigvizsgálnunk.

Illetve konkrétan be is írhatjuk ezt x helyére:

3*(3n+2+y) = 47 - (3n+2), vagyis

3*(3n+2+y) = 45 - 3n, osztunk 3-mal:

3n+2+y = 15 - n, végül y-ra rendezzük:

y = 13 - 4n, ezzel meg is tudtuk adni az egyenletrendszer általános megoldásait az egész számok halmazán. Mivel mi a pozitív egész számok halmazán akarjuk megoldani az egyenletet, ezért még a kikötéseket is el kell végeznünk;

3n + 2 > 0, vagyis n > -2/3, vagyis n bármilyen nemnegatív egész szám lehet,

13 - 4n > 0, vagyis 3,25 > n, vagyis n lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3

A két kikötést egybevetve at kapjuk, hogy n helyére a 0, 1, 2, 3 számok írhatóak, vagyis a feladatnak összesen 4 megoldása van, amiket mind megkapunk, hogyha az x=3n+2 és y=13-4n "képletekben" n helyére beírjuk a 0, 1, 2, 3 számokat, és elvégezzük a műveleteket.

#7

"Az 5-os nem tartalmaz minden megoldast, mint pl. a 2 negyszog es 13 haromszoget."

Szerintem olvasd el újra a válaszomat. ;)