Három párhuzamos egyenesen 5-5 pont, ezekből háromszögek, illetve négyszögek (? )

Kombinatorikai feladat:

a) Háromszögek: tudjuk, hogy a "jó" háromszögek csúcsaiból pontosan 2 egy egyenesre esik. Válasszuk ki azt az egyenest, amelyiken a két csúcs van, ezt 3-féleképpen tudjuk megtenni. Az egyenes 5 csúcsából válasszuk ki azt a kettőt, amelyek a háromszög csúcsai lesznek, ezt (5 alatt a 3)=5*4/2=10-féleképpen tehetjük meg. A harmadik csúcsot a másik két egyenes 10 csúcsából választhatjuk ki, 10-féleképpen. Tehát összesen 3*10*10=300 háromszöget rajzolhatunk.

négyszögek: tudjuk, hogy a "jó" négyszög csúcsai közül 2-2 ugyanarra az egyenesre esik. Először azt kell kiválasztanunk, hogy melyik lesz az a két egyenes, amiről a csúcsokat válogatjuk, ezt (3 alatt a 2)=3-féleképpen tehetjük meg. Nézzük az egyik kiválasztott egyenest, erről az 5 pontból kell 2-t kiválasztani, ez (5 alatt a 2)=10-féleképpen lehetséges, ugyanez a helyzet a másik egyenessel, ott is 10 a lehetőségek száma. Összesen 3*10*10=30 négyzet alkotható.

Tehát ugyanannyiféleképpen lehet háromszöget, mint négyszöget alkotni.

b) Háromszögek: az első esetben nézzük az n pontú egyeneset, ekkor (n alatt a 2)-féleképpen lehet csúcsokat válogatni, a másik egyenesről a harmadik csúcshoz n+1 lehetőségünk van, így (n+1)(n alatt a 2) háromszög van.

a második esetben az n+1 pontú egyenesről választunk ki 2-t, ez (n+1 alatt a 2)-féleképpen tehetjük meg, a harmadik csúcsot n-ből kell kiválasztanunk, így n(n+1 alatt a 2) háromszög alkotható.

A két esetet összegezve (n+1)(n alatt a 2)+n(n+1 alatt a 2) háromszög képezhető.

Négyszögek: Mindkét egyenesről 2-2 pontot kell kiválasztanunk, így (n alatt a 2)*(n+1 alatt a 2) különböző négyszög rajzolható.

Kérdés, hogy a kettő közül melyik nagyobb?

Háromszögek: (n+1)(n alatt a 2)+n(n+1 alatt a 2)=

=(n+1)(n!/(2!*(n-2)!))+n((n+1)!/(2!*(n-1)!))=

=(n+1)n*(n-1)/2+n(n+1)n/2=

=((n+1)n(n-1+n))/2=

=(n+1)n(2n-1)/2

Négyszögek: (n alatt a 2)*(n+1 alatt a 2)=

=n!/(2!*(n-2)!)*(n+1)!/(2!*(n-1)!)=

=n(n-1)/2*(n+1)n/2=

=n^2(n+1)(n-1)/4

Nézzük, hogy így melyik a nagyobb:

(n+1)n(2n-1)/2 ? n^2(n+1)(n-1)/4 /osztunk n(n+1)-gyel

(2n-1)/2 ? n(n-1)/4 /szorzunk 4-gyel

4n-2 ? n^2-n /-4n+2

0 ? n^2-5n+2

Ha az n^2-5n+2=0 egyenletet megoldjuk, akkor kijön, hogy n=~4,56 (a negatív n nem érdekel minket).

Ez pontosan azt jelenti, hogy ha n={2;3;4}, akkor háromszögből (mivel ezekre az n-ekre a jobboldal negatív), egyébként négyzetből van több .

Ellenőrzés:

n=2-re háromszögek: (2+1)(2 alatt a 2)+2(2+1 alatt a 2)=3*1+2*3=9

négyszögek: (2 alatt a 2)*(2+1 alatt a 2)=1*3=3, ebből van kevesebb.

n=3-ra háromszögek: (3+1)(3 alatt a 2)+3(3+1 alatt a 2)=4*3+3*6=30

négyszögek: (3 alatt a 2)*(3+1 alatt a 2)=3*6=18, ebből van kevesebb.

n=4-re háromszögek: (4+1)(4 alatt a 2)+4(4+1 alatt a 2)=5*6+4*10=70

négyszögek: (4 alatt a 2)(4+1 alatta 2)=6*10=60, ebből van kevesebb

n=5-re háromszögek: (5+1)(5 alatt a 2)+5(5+1 alatt a 2)=6*10+5*15=135

négyszögek: (5 alatt a 2)(5+1 alatta 2)=10*15=150, ebből van több.

Tehát jól dolgoztunk.

Ha valami nem érthető, írj!