Bizonyítsa be, hogy bármely tizenegynél nagyobb n természetes szám felírható n=4x+5y alakban, ahol x és y természetes számok?

#12. Dehogynem jó. :D

A megoldhatóság miatt egy trivialitás, hogy van pozitív megoldás.

n=4x+5y=4(x+y)+y, y-t leszorítom a {0,1,2,3} halmazra.

-> y=0

-> n 4-gyel osztható, egyszerűen x=n/4

-> y=1

-> n=4(x+1)+1=4x+2, azaz n-2 4-gyel osztható, és x=(n-2)/4 megfelel.

-> y=2

-> n=4(x+2)+2=4x+8+2=4x+10, azaz n-10 4-gyel osztható és x=(n-10)/4 megfelel

-> y=3

-> n=4(x+3)+2=4x+15, azaz n-15 4-gyel osztható, és x=(n-15)/4 megfelel.

Tehát a megoldhatóságból nemhogy az következik triviálisan, kb. fél percnyi gondolkodással, hogy van megoldás, hanem még az is, hogy bizonyos keretek között én mondom meg, hogy mi legyen a megoldás. #3 voltam.

Mondjuk jó ez a megközelítés...

Hiszen, minden n felírható 4k+y alakban, ahol y = 0,1,2 vagy 3.

Ehhez hozzávéve, hogy n>11 már adódik, hogy k>=3.

k := x + y.

Mivel y<=3, ezért x>= 0 és kész is. Hmmm.

@11: Nem nagyobb. Nincs is rá természetes (x,y) megoldás. Viszont a 3-as válasz által idézett tétel pontosan ugyan azt mondja róla, mint n=7, n=11, n=12, vagy n=12131242 esetről: van egész (x,y) megoldás. Kár, hogy a feladat nem ez, vagyis a 3-as válasz bizonyítása nincs készen, meg kell mutatni, hogy létezik természetes megoldás is, ha n>11.

És itt folytathatom a válaszomat @13-nak címezve:

Valóban, így, hogy befejezted, már jó a bizonyítás. Két apró észrevétel:

- A 13 válaszod önmagában elég, hiszen konstrukciót mutattál, sehol nem használtad föl, hogy tudjuk, van egész megoldás.

- A válaszod lényegében pontosan ugyan az, mint az enyém az 1-es hozzászólásban, és nagyon hasonló, mint a 2-es válasz.