X=1/0; akkor mennyi az x?

Akkor a túliskolázott tanárod annyira mégsem az.

A művelet nem definiált (nincs értéke), de bizonyos esetekben lehet rá végtelenként tekinteni. Például ha neked 1 forintod van, a boltban pedig 0 forintért adják a csokit, akkor mennyi csokit tudsz venni? Matematikailag 1/0, amúgy meg végtelen sokat tudsz venni belőle, ez alapján 1/0=végtelen.

Határértéket lehet neki mondani, de akkor meg nem mindegy, honnan közelítünk a 0-hoz; ha a pozitív számokon keresztül közelítünk, akkor a határérték végtelen lesz, ha a negatív számokon keresztül, akkor pedig (-végtelen).

„Én nem igazán akarom elhinni, hiszen végtelen*0 !=1”

Az ilyen kijelentésekkel vigyázzunk, ugyanis (határértékben) a 0*végtelen értéke bármennyi lehet, akár 0 is, végtelen is, meg (-végtelen) is, vagy bármelyik konkrét valós szám.

Miért hivatkozol kitalált 'túliskolázott' tanárosra, vagy pedig rajztanárodról van szó?

.

Az X értéke akkora, amit, ha 0-val szorzol, 1-et kapsz eredményül.

A nullával való osztás nem értelmezett. Az osztás a szorzás inverz művelete, márpedig nincs olyan szám, amit nullával megszorozva 1-et kapnánk.

Határértékként viszont meg lehet közelíteni a dolgot. Egy 1/x kifejezés esetén ahogy közelít x a nulla felé, úgy nő minden határon túl az 1/x értéke:

1/1 = 1

1/0,1 = 10

1/0,01 = 100

1/0,001 = 1000

1/0,00…sok.nulla…1 = 1…sok.nulla…0

(Tehát bár nem igaz, hogy végtelent nullával megszorozva 1-et kapsz, de az igaz, hogy 0-hoz minden határon túl közelítő értéket minden határon túl növekvő értékkel kell megszoroznod, hogy 1-et kapj.)

Csak pont itt a bökkenő, mert ez akkor igaz, ha x-et pozitív irányból közelítjük a nulla fele. Ha negatív irányból közelítjük, akkor a kifejezés a -∞ felé közeledik:

1/-1 = -1

1/-0,1 = -10

1/-0,01 = -100

Tehát az 1/x határértéke attól is függ, hogy mit takar a kifejezés, mi a kontextus, milyen irányból közelít x a nullához.

Érdemes itt két dolgot élesen szétválasztani.

1. Matematikai értelemben nullával osztás nem értelmezett, semmit sem lehet állítani nem létező dolgokról (vagy bármit, ami ugyanaz). Ugyanakkor fogalmilag kezelhetjük egyfajta határétékként, ahogy 2×Sü írta. Vagyis mondható, hogy ha x tart nullához, az osztás értéke egyre nő, tart a végtelenbe. Megfordítani azért nem érdemes, mert nem értelmezett dolog megfordítása vajon mi? Azt állíthatjuk, nullával szorzás egyértelműen nulla. Ám nulla közeli számmal szorzás lehet bármi, attól függően, milyen közel van nullához a szorzó.

2. Dolgokról nemcsak a hozzáértők beszélnek, hanem bárki, aki hallott róla. Éppen ezért az elhangzottak vagy igazak vagy nem. E témában a köznyelv (az egyszerűsítés miatt) gyakran úgy beszél a végtelenről, mint számról, mert a pontos értelmét nem ismeri. És e szóhasználatban elhangozhat, hogy véges szám per nulla az végtelen. Nem az, de fogalmilag közelít hozzá, mondhatjuk, hogy "mintha", azaz a fogalmat nem ismerő kap valami képet, sajnos ezt használni is fogja, de akkor már téves lesz. A nyelv már csak ilyen. Mindenkié az a része is, ami valójában mégse.

„Matematikai értelemben nullával osztás nem értelmezett, semmit sem lehet állítani nem létező dolgokról (vagy bármit, ami ugyanaz).”

Ilyen kijelentésekkel azért vigyázzunk, ugyanis a „semmi” másik helyzetben igenis értelmezhető. Két közismert példát említve;

-A hatványozásnál minden (nem 0) szám 0. hatványa 1, pedig úgy tűnhet, hogy a hatványozás alapvető értelmezésének ellentmond. Például 2^3 azt jelenti, hogy vegyünk 3 darab 2-est, és szorozzuk össze őket: 2*2*2=8. Ez alapján a 2^0 azt jelentené, hogy vegyünk 0 darab 2-est, és így az értéke elvileg 0 kellene, hogy legyen, pedig valójában 1. Ennek az az oka, hogy az alapdefiníció csak POZITÍV EGÉSZEK esetén működik, més esetben más definíciót/összefüggést kell alkalmaznunk.

-A faktoriális számításánál is tudjuk a „semminek” az értékét venni, mégis annak az értéke is 1 lesz. Itt is az a helyzet, hogy az n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1 definíció csak POZITÍV EGÉSZEK esetén működik, a 0! értéke más megfontolásból lesz értelmezhető, és lesz értéke 1 a 0 helyett.

Ezzel csak annyit akarok mindani, hogy sokszor nem intézhető el annyival a történet, hogy „a semmit nem tudjuk értelmezni”.

Még egy dolog; a 0/0 minden szívfájdalom nélkül értelmezhető lenne, ezzel viszont az a gond, hogy ennek bármilyen számot adhatnánk megoldásnak. Tehát azért nem értelmezhető, mert nem tudjuk EGYÉRTELMŰEN értelmezni.

"Ez alapján a 2^0 azt jelentené, hogy vegyünk 0 darab 2-est"

Tévedés!

Azt jelenti, hogy vegyünk 1db 2-est és egyszer sem szorozzuk önmagával!

Ennek az eredménye pedig 2 (művelet nincs, változás sincs).

A nulla nem teljesen azonos a semmivel. Nyilván a matematika absztrakció. Elvonatkoztatás a jelenségek bizonyos aspektusaitól, kiragadva valamiféle közös jellemzőt. Mikor természetes számokról van szó, akkor elvonatkoztatunk attól, hogy almákról, biciklikről, vagy ellenállásokról van-e szó, pusztán valamiféle olyan jellemzőt emelünk ki, ami közös, amit mennyiségnek nevezünk.

Ezen elvonatkoztatásban aztán felfedezzük az összefüggéseket, általánosítunk, kiterjesztjük az absztrakt fogalmakat. A nullának még van fizikai realitása. de sokféle realitása lehet. A negatív számokat a természetes számok kiterjesztésével kapjuk, bizonyos területeken nincs fizikai realitása (pl. -2 alma nincs), de bizonyos területeken még van (-2 méteres magasság, azaz az önkényesen kikiáltott szintből 2 métert kell elvenni, hogy az adott mélységbe jussunk). A dolog addig megy, hogy egy-egy matematikai fogalomhoz már igen nehéz fizikai realitást rendelni.

~ ~ ~

A hatványozás fizikai realitással rendelkező értelmezése, hogy egy számot adott esetben szorzunk meg önmagával (legyen az állatorvosi lovunk a 7-es, de bármelyik számot vehetnénk, jelölhetnénk x-szel is, de és 7-et fogok írni a gyengébbek kedvéért):

7² = 7*7

7³ = 7*7*7

7⁴ = 7*7*7*7

Innen viszonylag magától értődő, hogy:

7¹ = 7

A nulladik kitevőjű hatvány már kérdésesebb:

7⁰ =

És az egyenlőség után nincs semmi. De ha kicsit átírjuk a dolgokat, akkor lehet ott valami:

7³ = 1*7*7*7

7² = 1*7*7

7¹ = 1*7

7⁰ = 1

De azért ez így eléggé önkényes. Ennél is, és az ennél kisebb egész hatványoknál is kiindulhatunk abból a triviális összefüggésből, hogy 7ⁿ = 7ⁿ⁻¹ * 7, amiből megkapjuk, hogy 7ⁿ⁻¹ = 7ⁿ / 7

Így:

7¹ = 7² / 7 = 7*7 / 7 = 7

7⁰ = 7¹ / 7 = 7 / 7 = 1

7⁻¹ = 7⁰ / 7 = 1 / 7

7⁻² = 7⁻¹ / 7 = (1/7) / 7 = 1 / 7²

általában:

7⁻ⁿ = 1 / 7ⁿ

Ez a permanenciaelvből következik, azaz az összefüggéseket úgy terjesztjük ki tágabb értelmezésre, hogy a szűkebb értelmezés összefüggései továbbra is érvényben maradjanak.

(De kiindulhattunk volna pl. abból is, hogy:

7ᵃ⁺ᵇ = 7ᵃ * 7ᵇ

Így:

7ᵃ = 7ᵃ⁺⁰ = 7ᵃ * 7⁰

Amiből szintén az adódik, hogy:

7⁰ = 7ᵃ / 7ᵃ = 1

Ugyanígy:

7ᵃ = 7ᵃ⁺ⁿ⁺⁽⁻ⁿ⁾ = 7ᵃ⁺ⁿ * 7⁻ⁿ = 7ᵃ * 7ⁿ * 7⁻ⁿ

Amiből szintén az adódik, hogy:

7⁻ⁿ = 1 / 7ⁿ

Hasonló permanencia elvvel lehet kiterjeszteni a hatványozást racionális kitevőre:

7 = 7¹ = 7 = 7⁰⋅⁵ * 7⁰⋅⁵ = (7⁰⋅⁵)²

Amiből az jön ki, hogy:

7⁰⋅⁵ = √7

általában:

7¹ᐟⁿ = ⁿ√7)