Ha nem ismerjük π pontos értékét, akkor honnan tudjuk, hogy π^π^π^π az egész szám?

#9:

nem magyarázza, a következőket mondja:

1. lehet, hogy az, van rá példa.

2. nem tudjuk.

3. kiszámolni sem tudjuk, közelítéssel sem, mert:

-baromi nagy szám, alapból évekig kellene számolni

-ahhoz, hogy ilyen nagy hatvány esetén valamennyire pontos eredményt kapjunk (tehát lássuk, hogy az első pár tizedesjegyen mi van) olyan sok számjegyét kellene ismerni a PI-nek, amitől még nagyon messze vagyunk.

#13:

igen, de [gyök(2)^gyök(2)]^gyök(2) az viszont egész.

> Szerintem valamit erősen félre érettél, mert még sehol nem olvastam, hogy nem egész számok hatványai egésszé válnának.

Tudom, részletkérdés, de szükségszerűen van ilyen szám. Sőt van olyan nem egész, amit önmaga hatványára emelve is egészet kapunk. Ha vesszük az f(x)=x^x függvényt, arról azért talán önállóan belátható, hogy x>1 esetén a függvény szigorúan monoton növekvő és folytonos. Mivel 1^1=1 és 2^2=4, így szükségszerűen kell legyen olyan x, ahol x^x=2, x^x=3, és ahol x szükségszerűen valós, de nem egész lesz, hiszen 1<x<2 kell legyen. Ugyanígy folytatva mivel 2^2=4 és 3^3=27, ezért kell, hogy legyen olyan x, ahol x^x=5, x^x=6, x^x=7, x^x=8, x^x=9 stb. (egészen x^x=26-ig), és ahol szükségszerűen x szintén valós, de nem egész lesz, hiszen 2<x<3 kell legyen.

Pl.:

x = e^W(log(2)) ≈ 1,5596104695 esetén x^x=2

x = e^W(log(3)) ≈ 1,8254550229 esetén x^x=3

x = e^W(log(5)) ≈ 2,1293724828 esetén x^x=5

x = e^W(log(6)) ≈ 2,2318286244 esetén x^x=6

x = e^W(log(7)) ≈ 2,3164549588 esetén x^x=7

(Itt W a Lambert/féle függvény, ahol x=W(x)*e^W(x).)