Mi az a Cantor féle tulajdonság?

Hát Cantorról elég sok mindent neveztek el, de ezek közül a legalapvetőbb a valós számok Cantor-féle tulajdonsága, amit a Cantor-axióma fogalmaz meg:

Valós számok bármely egymásba skatulyázott zárt intervallumrenszerének van közös pontja. Amit #3 állít, hogy régen axiómaként szerepelt, az ma is megáll, a valós számokat többféleképpen lehet felépíteni. A következőről van szó:

Felépítés (NAGYON vázlatosan)

1) A valós számok testet alkotnak, melyek halmazát R-rel jelöljük. R-en adott egy kommutatív, asszociatív, invertálható összeadás és egy kommutatív, asszociatív szorzás, ahol a nemnulla elemek invertálhatók a szorzásra nézve; valamint a szorzás disztributív az összeadásra nézve.

2) A valós számok rendezett testet alkotnak, azaz adott egy "<" reláció R×R-en, amelyre teljesülnek az alábbiak:

-bármely a,b valós számra az a<b, b<a a=b (trichotómia) relációk közül pontosan 1 teljesül

-a<b és b<c -> a<c (tranzitvitás)

-a<b -> a+c<b+c (monotónia)

-a<b és c>0 esetén ac<bc.

És akkor ezen a ponton lehet beszélni egészekről, racionálisokról stb.

3) A valós számok archimédeszien rendezett testet alkotnak, azaz érvényes az archimédeszi axióma:

Tetszőleges p pozitív számnál létezik p-nél nagyon n természetes szám.

Azt gondolhatnánk, hogy az eddigiekből az archimédeszi axiómát nem kell kimondani, az következik az előbbiekből, meg amúgy is trivialitás, de ki kell ábrándítsalak, ezt meg kell követelni, lehet ugyanis olyan testet konstruálni, melyre az előbbiek teljesülnek, de az archimédeszi axióma nem.

Nézzük ugyanis a racionális együtthatós polinomokat, helyesebben polinomfüggvényeket legyen

p(x)=sum(k=0, n)a_k*x^k és q(x)=sum(k=0, m)b_k*x^k, ahol

b_0^2+...+b_m^2!=0 (magyarul q nem a nullpolinom)

Tekintsük az r(x)=p(x)/q(x) racionális törtfüggvények összességét, és értelmezzük közöttük az összeadást és a szorzást az alábbi módon:

p1/q1+p2/q2=(p1q2+p2q1)/q1q2 és

(p1/q1)(p2/q2)=p1p2/q1q2, és követeljük meg, hogy az egyenlőségek jobb oldalán a számláló és a nevező olyan polinom legyen, melynek nincs konstanstól különböző közös osztója.

Nyilván az 1 szerepében itt a konstans 1 polinom, a 0 szerepében a nullpolinom van. Értelmezzük a rendezést a következőképpen:

r=p/q legyen pozitív, ha főtagjainak ugyanaz az együtthatója, és r1<r2 pontosan akkor, ha r2-r1 pozitív az új értelemben. Kicsit számolgatni kell, de belátható, hogy az így definiáltak teljesítik a kirótt feltételeket. Az archimédeszi axióma azonban itt nem teljesül.

Legyen ugyanis például a(x)=1 és b(x)=x. Ekkor minden n természetes számra:

n*a=a+a+...+a<x, mert x-n*a pozitív az új értelemben. Így speciálisan az a(x)=1-re és b(x)=x-re nem teljesül az archimédeszi axióma. Tehát csakugyan, azt meg kell követelni.

Végül

4) Cantor-axióma: minden egymásba skatulyázott zárt intervallumrendszernek van közös pontja.

És akkor azt lehet mondani, hogy hát a valós számok halmaza az a halmaz, amely teljesíti az eddig kirótt feltételeket, és akkor lehet szütymögni napestig tizedetörtalakokkal, műveletekkel.

A Cantor-axiómát lehet kiváltani az ún. teljességi axiómával, mely szerint minden felülről korlátos halmaznak van felső határa.

Valójában arról van szó, hogy a következő 6 állítás ekvivalens

1) Minden egymásba skatulyázott zárt intervallumrendszernek van közös pontja [CANTOR] és minden pozitív b számhoz van nála nagyobb n természetes szám [ARCHIMÉDESZ]

2) Minden felülről korlátos halmaznak létezik felső határa [TELJESSÉGI AXIÓMA]

3) Minden monoton, korlátos sorozat konvergens.

4) Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata (Bolzano-Weierstrass-tétel)

5) Minden Caughy-sorozat* konvergens és teljesül [ARCHIMÉDESZ]

6) Ha nyílt intervallumok egy rendszere lefed egy korlátos, zárt intervallumot, akkor közülük véges sok is lefedi azt (Heine-Borel-tétel)

*Caughy-sorozatnak nevezünk egy (a_n) sorozatot, ha minden pozitív ε-hoz megadható egy küszöbindex, mondjuk N, hogy ha N<n<m, akkor |a_n-a_m|<ε.

Remélem, kaptál egy egészleges képet a dologról.

A Cantor axiómát és az archimédeszi axiómát lehet kiváltani az ún. teljességi axiómával*

Bocsánat, javítom magam.