Valószínűségszámítás - Hogyan számolták ki?

A binomiális eloszlás mondja meg, hogy mennyi az esélye, hogy az 50 emberből "k" hal meg:

C(50, k) * 0.1^k * 0.9^(50-k)

Ha kiszámoljuk, hogy mennyi az esélye, hogy az első csoportból 0 ember hal meg, akkor tudjuk, hogy ugyanennyi az esélye, hogy a másik csoportból 0 hal meg, vagyis négyzetre emeljük ezt a számot.

Ki kell számolni 0-től 50-ig a valószínűségeket, négyzetre emelni őket és ezeknek az összege:

0.1338932210724279

Vagyis 13,4%.

Azt nem tudom, hogy van-e rá gyorsabb módszer.

úgy számolták ki, hogy egyenként kiszámolták mennyi esélye van annak, hogy egy 50 fős csoportban n ember hal meg.

ez, ha a halál esélye 0,1 (10%), akkor így néz ki

P(n)=50!/(50-n)!/n!*0,1^n*(1-0,1)^n

annak, hogy egy-egy ilyen kétszer egymás után bekövetkezik (ugyanannyi ember hal meg a két csoportban)

P(n)^2

ezt kell végig számolni 0->50 tartományon és összegezni, az lesz 13,3%

egyébként 0,133867, azaz inkább 13,4%

excelben, google táblázatokban simán meg lehet csinálni.

"Figyelmen kívül hagyva a nullhipotézist, a kérdés a két 50 fős csoportra vonatkozik, hogy 10%-os halálozási valószínűség mellett, miért 13.3% az esélye, hogy ugyanannyian fognak meghalni?"

A kiindulási adatokat nem lehet figyelmen kívül hagyni, mert a konkrét szám abból jön ki.

Ami szerintem a problémát okozza, az inkább egy elvi kérdés, szóval megpróbálom megvilágítani.

Vegyünk két csoportot, amikre ugyanazok a szabályok vonatkoznak. Például a két csoport lehetne kétszer 60 darab dobókocka, és az a dobókocka érdekel minket, amelyik 1-est mutat.

Az első kérdés, hogy mennyi fog várhatóan 1-est mutatni, erre a válasz az, hogy mivel 1:6 az esély, ezért minden csoportban 10 ilyen lesz.

De garantáltan pont 10 lesz? Nyilván nem, mert néha lesz olyan, hogy csak 9 lesz 1-es, néha lesz olyan, hogy 12 lesz 1-es. A kockák random mutatnak 1-est, nem tudják egymásról hogy melyik mire esett, így még az is elképzelhető, hogy az egyik dobásból mind a 60 kocka 1-es lett.

Tehát a kérdés az, hogy ha van két ilyen kupac dobókockád, és mind a kettőt eldobod, akkor mennyi az esélye, hogy mind a kettőben ugyanannyi lesz az 1-es. Ez kijöhet úgy is, hogy mindkettőben 10 darab 1-es lett, vagy mindkettőben 8 darab 1-es lett, viszont egy csomó olyan eset lesz, amikor a kettő nem egyfroma, mert az egyikben 10 darab 1-e lett, a másikban meg csak 9. És ha valójában belegondolsz, az esetek többsége olyan lesz, amikor a két kupac eltér az 1-esek számát illetően, a legtöbb esetben valahol 10 darab körül lesznek az 1-esek, de nem pont 10 (8, 9, 10, 11, 12, ilyesmi), emiatt a legtöbb esetben azt fogod kapni, hogy a két kupac NEM egyenlő. Pedig mindkét kupacra 10 darab 1-est vársz.

Szóval igen, kicsit kontraintuitív, hogy két egyoforma csoport csak 13% eséllyel lesz TÉNYLEG egyforma. A te példádban is az van, hogy mindkét csoportban kb 5 ember halálára számítunk, de az akár 4 vagy 6 is lehet, és az, hogy mindkettőben 4, mindkettőben 5, mindkettőben 6 stb ember hal meg (és nem 4 és 5, vagy 4 és 6), az csak az esetek 13%-ában történik meg.