Kommutatívvá (felcserélhetővé - Wikipédia) tehető -e minden nem kommutatív művelet a matematikában, annak a megfelelően átalakított és ilyen alakban már kommutatív formában történő alkalmazásával? Minden válasz érdekelne az összes műveletre.

A hatványozást hogyan tudnád felcserélhetővé tenni?

És attól is nagyban függ a kérdés, hogy milyen (szám)halmazon. Nagy általánosságban nem lehet minden műveletet felcserélni, például már a mátrixszorzás sem kommutatív. Vagy a halmazoknál a Descartes-szorzat.

Pedig egyértelmű, mire gondolok...

5^6 =/= 6^5, például.

Nyilván minden művelet esetén ez nem lehetséges, a hatványozás pl. nem kommutatív művelet, és a két inverz művelete (a gyökvonás és a logaritmus) sem kommutatív művelet:

5³ ≠ 3⁵

log₅ 3 ≠ log₃ 5

⁵√3 ≠ ³√5

Hogy a hatványozás visszavezethető a szorzásra, az egy dolog, ettől még a hatványozás egy kétparaméteres művelet, aminek a paramétereit nem tudod úgy átalakítani, hogy azok kommutatív művelettel felírhatóak legyenek. Szorzattá alakítani is csak abban az esetben lehet, ha a kitevő természetes szám. Az 5^(√2)-t nem tudod szorzattá alakítani, mert a hatványnak a valós számokra való kiterjesztése permanenciaelv alapján történik. Illetve paraméteres alakban sem egyértelmű az átalakítás az a^b kifejezést nem tudod egzakt szorzattá alakítani b ismerete nélkül.

Az 5^3 műveletet nem tudod úgy átalakítani, hogy az egy:

f(5) ⊛ g(3) = g(3) ⊛ f(5)

alakú művelet legyen.

~ ~ ~

Aztán… Te az összeadás és a szorzás esetén azt használtad ki, hogy ezeknek van inverz műveletük (ezeknek is két inverz műveletük van, de pont az eredeti művelet kommutativitása miatt ez a két inverz művelet ugyanaz). Az inverz – és nem kommutatív – műveletet úgy alakítottad át, hogy az eredeti kommutatív műveletet kapd, benne a kommutatív művelet inverzével – amihez meg ráadásul egy neutrális elem is kell a művelethez –, tehát ahelyett, hogy kivontál volna 5-ből 3-at, 5-höz hozzáadtad a 3-nak az additív inverzét.

De nem minden műveletnek van inverze, illetve neutrális eleme. Pl. legyen egy művelet, legyen a műveleti jele most az egyszerűség kedvéért a „@” jel.

a @ b := 1, ha a > b

a @ b := 0, ha a = b

a @ b := -1, ha a < b

Magyarán az a@b művelet az alapján ad vissza egy értéket a {-1,0,1} halmazból, hogy a és b növekvő, csökkenő sorrendben van-e vagy egyenlőek-e. Ez nem is annyira fiktív művelet, az informatikában létezik, pl. a PHP nyelvben a <=> a műveleti jele, és pont emiatt spaceship operátornak nevezték el.

Ha nagyon egyszerűen akarjuk megközelíteni a dolgot, ezt a nem kommutatív műveletet azért nem fogod tudni semmilyen módon kommutatív műveletté alakítani, mert a művelet eredménye pont az operandusok sorrendiségéről ad információt, így semmilyen módon nem lesznek az operandusok felcserélhetők.

Kicsit máshogy nézve, ugye ha van egy művelet:

a + b = c

Akkor itt három értékről van szó, az eredeti művelet megmondja c értékét, ha a és b ismert. A két inverz műveletéből az egyik megmondja, hogy mi a értéke, ha b és c ismert, a másik megmondja, hogy mi b értéke ha a és c ismert:

a = c - b

b = c - a

Ahogy írtam a két inverz művelet pont azért azonos, mert az eredeti művelet kommutatív, így a és b felcserélhető.

De a fenti @ műveletünknek nincs ellentét művelete.

5 @ 3 = 1

Ha itt csak az 5 és az 1 ismert, akkor semmilyen módon nem tudjuk megállapítani, hogy mi volt a művelet másik operandusa eredetileg. Hiszen:

5 @ 4 = 1

5 @ 3 = 1

5 @ 2 = 1

Így

5 @ x = 1

esetén x értéke nem számolható ki, nem egyértelmű, csak annyit tudhatunk róla, hogy 5-nél kisebb kell, hogy legyen. Mivel nincs inverz művelet, nincs neutrális eleme sem a műveletnek, így az, amit az összeadás, szorzás esetén meg tudtad tenni, azt itt nem tudod megtenni.

~ ~ ~

Ha még mélyebben belemegyünk, akkor ki lehetne térni arra is, hogy a dolog nem csak azért működik az összeadásnál, meg a szorzásnál, mert a művelet kommutatív és létezik neutrális elem hozzá, hanem azért is, mert a művelet asszociatív is. Márpedig attól, hogy egy művelet kommutatív, attól még nem feltétlenül asszociatív. Illetve attól, hogy egy művelet asszociatív, nem feltétlenül kommutatív (pl. a mátrixszorzás ilyen).