Hogyan tudom meghatározni egy szám köbgyökét?

Számológéppel.

2,5

Gyökvonás

v. gyökfejtés, valamely adott A szám n-dik gyökeinek meghatározása. Az A szám n-dik gyökének pedig minden oly számot nevezünk, mely n-dik hatványra emelve, az adott A számot adja. P. 4-nek második gyökei 2 és -2. Csakugyan 22 = 4 és egyszersmind (-2)2 = 4. Már ezen egyszerü példa mutatja, hogy valamely számnak több mint egy n-dik gyöke lehet. Ezek közös jele: nÖA, olvasva: n-edik gyök A(-ból). A Ö jelét, mely a XVI. sz.-ban a radix szó kezdőbetüjének átalakulása által keletkezett, gyökjelnek nevezzük, a föléje irt n-et pedig gyökkitevőnek. Ha a gyökkitevő 2, akkor nem irjuk ki, tehát p. Ö 4 négynek második gyökét jelenti. Az A számot, melyből gyököt vonunk, röviden az adott számnak szoktuk mondani, régebben gyökzendőnek (raducandusnak) hivták. A második és harmadik gyökre szokásos a négyzetgyök és köbgyök elnevezéseket használni, épugy, mint a hatványozásnál a második és harmadik hatványra a négyzet és köb elnevezéseket.

Valamely pozitiv A számhoz mindig egy és csak egy oly pozitiv szám található, mely n-dik hatványra emelve A-t adja. E pozitiv n-dik gyök gyakran An-nel jelöltetik (olvasva: A az 1 törve n-re) s gyakorlati számításoknál rendesen csak ennek meghatározása kivántatik. E meghatározás legkényelmesebben logaritmusok segítségével történik. Csupán a négyzetgyököt és köbgyököt szokás az alább közlendő elemi uton is kiszámítani. Valamely tetszőleges szám összes gyökeinek meghatározása az xn-A=0 egyenlet megoldását kivánja. Az ily alaku egyenlet binom egyenletnek neveztetik. Ha A a zérus, akkor x=0: minden más esetben azonban a binom egyenlet n egymástól különböző x érték által elégíttetik ki, vagyis A-nak n egymástól különböző n-dik gyöke van. Ha A trigonometriai alakja (l. Komplex szám)

[ÁBRA]

melyből nÖA valamennyi értéke azáltal nyerhető, hogy rendre megszorozzuk az egység n-dik gyökeivel (l. Egység gyökei). A pozitiv számok pozitiv négyzetgyökének és köbgyökének említett elemi meghatározása az

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

képleteken alapszik. Egy egész számnak, p. 611524-nek négyzetgyökét a következő szabályok szerint kapjuk: 1. Az adott számot az egyesektől kezdve két-két számjegyből álló osztályokra bontjuk (v. ö. az A alatti számítást), csak a legmagasabb osztály áll esetleg egy számjegyből. 2. A négyzetgyök legmagasabb számjegye a legnagyobb szám lesz, melynek négyzete még nem nagyobb, mint a legmagasabb osztály, ha ezt külön számnak olvassuk. (Példánkban e számjegy 7, mert 72 <61, de már 82>61.) 3. E négyzet (49) kivonása után maradékhoz (12-hez) hozzátesszük a legközelebbi osztály magasabb számjegyét (1-1t, igy adódik ki 121), osztónak pedig a négyzetgyök már meghatározott részének kétszeresét (14) vesszük. A hányados (8) általában a (kivételes esetet l. 6. alatt) a négyzetgyökben a legközelebbi számjegy. Most a maradékhoz 8121) hozzáirjuk az illető osztály másik számjegyét (5, igy adódik ki 1215), az osztóhoz pedig a négyzetgyöknek uj számjegyét. Az igy átalakitott osztót (148) szorozzuk az utoljára nyert számjeggyel) (8) s kivonjuk az átalakított maradékból (1215-ből igy marad 31). 4. Ezt az eljárást ismételjük, mig az adott szám minden osztályát kimerítettük, a négyzetgyök kiszámított részét mindig egy számnak olvasva. 5. Ha ekkor a maradék 0, akkor az adott szám teljes négyzet volt, ha pedig nem, akkor a négyzetgyökből ily módon csak az egészszámu részt nyertük meg. 6. Néha e meghatározási mód kelleténél nagyobb számjelt ád a négyzetgyökben. Ezt azáltal vesszük észre, hogy a levonás negativ eredményhez vezet. Ekkor a legközelebbi kisebb számjelt próbáljuk, mig végre pozitiv maradékot nyerünk. P. B alatt:

[ÁBRA]

Itt már a kivonást nem eszközölhetjük, tehát 7 helyett 6-ot veszünk). 7. Ha az adott szám nem teljes négyzet és a négyzetgyök értékét k tizedes helyre akarjuk meghatározni, akkor a számhoz az egyesek után még k két-két zérusból álló osztályt csatolunk, és ugy járunk el, mintha az igy nyert egész számmal volna dolgunk. Csakhogy a hozzácsatolt osztályokból nyert számjegyek már nem tartoznak a négyzetgyök egész számu részéhez, hanem a tizedes törtrészt adják. (L. a C alatti példát.) Ha tizedes törtrészt tartalmazó szám négyzetgyökét kell vonni., s a tizedes pont után esetleg páratlan számu számjegy áll, akkora számot mindenek előtt a zérus hozzácsatolása által kiegészítjük párosra. Azután éppen ugy járunk el, mintha nem volna ott a tizedes pont, de a végeredményben a tizedes pont után következő osztályoknak megfelelő számjegyek elé ismét tizedes pontot teszünk. (L. a D alatti példát).

[ÁBRA]

Hasonló módon határozandó meg egy pozitiv szám pozitiv köbgyöke. Ha az adott szám egész (az E alatti példában 109.215352), akkor a következő szabályok szerint járunk el:

[ÁBRA]

1. Az adott számot az egyesektől kezdve három-három számjegyből álló osztályokra bontjuk: csak a legmagasabb osztály állhat esetleg kevesebb (egy v. két) számjegyből. 2. A köbgyök legmagasabb számjegye a legnagyobb szám lesz, melynek köbe még nem nagyobb mint a legmagasabb osztály, ha ezt külön számnak olvassuk. (Példánkban 4, mert 43<109, de már 53>109.) 3. E köb (64) kivonása után a legközelebbi osztály legmagasabb számjegyét hozzáirjuk a maradékhoz (igy adózik 45 maradékból 452), osztónak pedig a köbgyök már meghatározott részének háromszoros négyzetét vesszük (3,42=48).

[ÁBRA]

A hányados (9) általában (példánkban a 6. alatti módon a nálánál kettővel kisebb 7.) a köbgyökben a legközelebbi számjegy. Most a maradékhoz hozzáirjuk az illető osztály többi jegyeit 815) és a 3a2 b, 3ab2, b3 alakoknak megfelelő számokat (mindegyiknek helyét eggyel tovább tolva jobbfelé) kivonjuk a maradékból. 4. Ezt az eljárást addig ismételjük, mig az adott szám minden osztályát kimerítettük. 5. Ha akkor a maradék 0, az adott szám teljes köb volt, ha pedig nem, akkor a köbgyökből ily módon csak az egész számu részt nyertük. 6. Néha a meghatározásnak e módja kelleténél nagyobb számjegyet ad.

[ÁBRA]

Ezt azáltal vesszük észre, hogy a levonás negativ eredményre vezet. Ekkor a legközelebbi kisebb számjegyet próbáljuk, mig végre pozitiv maradékot nyerünk. 7. ha az adott szám nem teljes köb és a köbgyök értékét k tizedesre akarjuk meghatározni akkor a számokhoz az egyesek után még k három-három zérusból álló osztályt csatolunk és ugy járunk el, mintha az igy nyert egész számmal volna dolgunk.

[ÁBRA]

Csakhogy a hozzácsatolt osztályokból nyert számjegyek már nem tartoznak a köbgyök egész számu részéhez, hanem a tizedes törtrészt adják. Ha tizedes törtrészt tartalmazó szám köbgyökét keressük, s a tizedes pont után álló jegyek száma nem osztható hárommal, akkor e számot zérusok hozzácsatolása által ilyenné kiegészítjük. Azután ugy járunk el, mintha a tizedes pont nem volna ott, de a végeredményben a tizedes pont után következő osztályoknak megfelelő számjelek elé ismét tizedes pontot teszünk. (A mellékszámítás egyszerüsítésére igen kényelmes berendezés van ismertetve a Mathematikai Lapokban I. évf. 29.30. l.)

Pallas Lexikon, [link]

[link]

Felülre beírod a számot, majd "calculate" gomb, és alul kiírja a köbgyökét meg köbét is.

"És egy mezei számológéppel?? Mert órán nem vagyok internet közelben!:)"

Windows alatt a következőképpen:

1., Start -> Programok -> Kellékek -> Számológép

2., Nézet -> Tudományos

3., Beírod a számot, amelyből köbgyökét akarsz vonni, pl. 15,625

4., Megnyomod az x^y gombot

5., Itt két lehetőséged van:

5/a., Beírod, hogy 0,33333333333333333333333333333 majd az = gomb megnyomása után megkapod a 3. pontban beírt szám köbgyökét, igaz, kicsit kerekítened kell, mert a példában 2,49999999999999999999 lesz az eredmény

vagy

5/b., Beírod, hogy (1/3), majd az = után pontosan 2,5-öt kapsz

(hiszen mint tudjuk, x köbgyöke nem más, mint x^(1/3) )

(Első voltam ;)

A legtöbb mezei számológépen van x^y gomb. Innentől lásd fent...

Ha nincsen rajta, hanem csupán + - * és /akkor felejtsd el :)