Kezdőoldal » Tudományok » Alkalmazott tudományok » Megmagyarázná ezt érthetően...

Megmagyarázná ezt érthetően valaki?

Figyelt kérdés

Bizonyítsuk be, hogy egy egész számokból álló 10-tagú számsorozatban mindig van egy

olyan vagy néhány szomszédos, amelyeknek összege osztható 10-zel!

Megoldás: Vegyünk tetszőleges 10 ilyen x1, x2,…, x10 számot, és képezzük a következő

sorozatot: a1 = x1, a2 = x1+x2, a3 = x1+x2+x3,…, a10 = x1+x2+…+x10. Ha az ai

sorozat

valamelyik tagja osztható 10-zel, akkor készen vagyunk. Ha nem, akkor 10-zel osztva a

következő maradékot adhatják: 1,2,3,…,9. Biztosan lesz két azonos (9 skatulya, 10

gyufaszál). A két azonos maradékot adó különböző sorozattag különbsége éppen valahány

szomszédos szám 10-zel osztható összege lesz.

-értem, hogy mi történik, de nem igazán tiszta, elmagyarázná valaki?



2021. márc. 3. 18:14
 1/2 anonim ***** válasza:

Mindenekelőtt, úgy általában számsorozatokra az állítás nem igaz, csak erre a speciálisra.

A sorozat olyan, hogy a 10 számból mindig eggyel többet adunk össze. Ha nincs 10-zel osztható közöttük, akkor, mivel 9 féle maradék lehet, 10 szám között lesz kettő, amelyikek maradéka azonos. Ezért ha ezt a kettő egymásból kivonjuk, akkor a maradékuk nulla lesz, és emiatt ez osztható 10-zel. (legyen az egyik A+m, a másik B+m - itt m a 10-zel osztás maradéka. Ekkor A+m-B-m=A-B és ez osztható 10-zel.)

2021. márc. 3. 20:04
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/2 2*Sü ***** válasza:

> a1 = x1, a2 = x1+x2, a3 = x1+x2+x3,…, a10 = x1+x2+…+x10


Pl. ha ez a sorozat: 9, 7, 4, 3, 5, 8, 8, 2, 4, 1

Akkor:

a₁ = 9

a₂ = 9+7 = 16

a₃ = 9+7+4 = 20

És itt meg is állhatunk, az első három szám összege osztható 10-zel.


Ahhoz, hogy az „a” sorozat egyik tagja se legyen osztható 10-zel, ahhoz az kell hogy egyik maradék se legyen nulla. Viszont így 9 különböző maradékról van szó viszont 10 számról. Lesz legalább egy olyan maradék, ami legalább kétszer is szerepelni fog.


Pl. legyen ez a sorozat:

2, 6, 5, 1, 1, 8, 8, 5, 3, 3


Ekkor:

a₁ = 2 → maradék: 2

a₂ = 8 → maradék: 8

a₃ = 13 → maradék: 3

a₄ = 14 → maradék: 4

a₅ = 15 → maradék: 5

a₆ = 23 → maradék: 3

a₇ = 31 → maradék: 1

a₈ = 36 → maradék: 6

a₉ = 39 → maradék: 9

a₁₀ = 42 → maradék: 2


Itt pl. a 2-es és 3-as maradék is kétszer szerepel. De nézzük a 3-ast:

a₃ = x₁ + x₂ + x₃ = 2 + 6 + 5 = 13

a₆ = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 2 + 6 + 5 + 1 + 1 + 8 = 23


Tehát ha az első hat tag összegét nézzük, akkor azoknak a számoknak az összege, amiket az első 3 tag után adtunk hozzá, annak oszthatónak kell lennie 10-zel:

a₆ - a₃ = 23 - 13 = 10

De ugye:

a₆ - a₃ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆) - (x₁ + x₂ + x₃) = x₄ + x₅ + x₆

Tehát a 4., 5., és 6. tag összegének 10-zel oszthatónak kell lennie. Nézzük:

x₄ + x₅ + x₆ = 1 + 1 + 8 = 10


(Az egyszerűség miatt hoztam egyjegyű számokból álló sorozatokat, de nyilván többjegyű számok esetén is működik a dolog. A 10-zel való osztás maradéka szempontjából a magasabb helyiértékek lényegtelenek.)


~ ~ ~


> Mindenekelőtt, úgy általában számsorozatokra az állítás nem igaz, csak erre a speciálisra.


Úgy alapvetően egy „n” tagból álló számsorozatra igaz, hogy van benne legalább egy olyan részsorozat, aminek az összege oszható „n”-nel.

2021. márc. 4. 01:59
Hasznos számodra ez a válasz?

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!