Felmerült egy matematikai jellegű probléma. Mennyire nehéz kiszámolni?

Nekem nehéz :D

Viszont tetszik a probléma, kíváncsi vagyok a megoldásra, biztosan van rá valami okos képlet.

Elkezdtem én is, de késő van már, holnap folytatom, azért itt hagyom, mire jutottam így éjszaka:

A legkézenfekvőbb (rész-)megoldás, hogy minden esetben a bal kezeddel kezdesz keverni (tehát amelyik alján van a pikk ász), mivel ekkor minden alkalommal a pikk ász kerül az új pakli aljára. Mivel minden keverésnél 1/2 az esélye, hogy ballal kezdesz, így a pikk ász (1/2)^n valószínűséggel marad a pakli alján.

Ez így nyilván nem teljes megoldás, mert előfordulhat, hogy k-adik keverésnél a jobb kezünkkel kezdjük a keverést. Ekkor a pikk ász átkerül az alulról második helyre. Ha már nincs legalul, akárhányszor keverheted újra, sosem fog visszakerülni az első helyre*, egyre csak feljebb kerül. Tegyük fel, hogy x alkalommal megkeverted a paklit, néha bal, néha jobb kezeddel kezdve, és tudjuk, hogy a pikk ász alulról az y-odik helyen van. Ekkor a következő keverésnél két új helyre kerülhet (feltéve, hogy y<=26, tehát az alsó pakliban van):

1, bal kezeddel kezded -> 2y - 1

2, jobb kezeddel kezded -> 2y

A pikk ász így szépen elkezd felfelé vándorolni a pakli teteje felé.

Ha a pikk ász pontosan a 27. helyre kerül (pl. (1)-bal(1)-bal(1)-jobb(2)-jobb(4)-bal(7)-jobb(14)-bal(27) sorrendben keverted (zárójelben az ász aktuális helyzete)), akkor a következő keverés előtt a szétválasztásnál a felső pakliba kerül, tehát a jobb kezedbe, méghozzá ott a pakli legalsó lapja lesz, ergo, ha jobb kezeddel kezded a keverést, újra lekerült az aljára (ellenben ha ballal, ugyan átkerül az alsó felébe, de a második helyre).

Ha a pikk ász nem a 27., de annál magasabb helyre került (tehát a felső pakli felsőbb részébe), akkor is van esélye lejjebb kerülni, de fontos, hogy amint visszakerült az alsó pakliba (tehát 27. helyzet alá), nem tud lejjebb kerülni, csakis feljebb, tehát minden esetben az a "cél", hogy a 27. (felülről nézve 26.) helyre kerüljön vissza (majd a következő keverés jobb kézzel kezdődjön), hiszen csakis akkor tud újra az első helyre kerülni.

A pakli felső részének alsó lapja a pakli tetejéről nézve a 26. lap. A pakli tetejéről tehát tudsz lefelé vándorolni, az előzőekhez nagyon hasonlóan:

1, bal kezeddel kezded -> 2y - 1

2, jobb kezeddel kezded -> 2y

(megj. a pakli felső részénél a legfelső lapját tettem első, míg legalsót a 26. helyre, és itt is érvényes, hogy y<=26)

Ebben az esetben pedig az a lényeg, hogy a 26. helyre érj el.

Innentől kezdve valamilyen lépcsős megoldás, ha nem lesz megoldása a közeljövőben, igyekszem folytatni, tényleg kíváncsi vagyok :D

Megj. végtelen számú kártyalapnál csakis (1/2)^n, hiszen nem értelmezett a végtelen fele, legalábbis elég filozofikus problémának tűnik.. (de nagyon messze vagyok, hogy matematikus legyek, szóval lehet tévedek :D)

Viszont, mivel az (1/2)^n esély minden esetben megvan (tehát a későbbiekhez ez hozzájön), akárhányszor kevered meg, minden esetben lesz esélye annak, hogy a pakli alján találod meg a lapot.

...

Folytatnám a tegnap éjjelit:

Az egyszerűség kedvéért maradjunk anál, hogy pontosan 52 lapos a pakli, értelemszerűen egyetlen pikk ásszal.

A pikk ász aktuális helyétől függően minden esetben pontosan két helyre kerülhet a keverés következtében:

Ha y <= 26:

új y1 = 2y-1

új y2 = 2y

Ha y >= 27:

új y1 = y-(52-y)-1

új y2 = y-(52-y)

, ahol y a pikk ász alulról számított helye.

(Ez ugyanaz, mint a tegnapi, csak átírtam.)

Mivel minden egyes keverés kétféleképpen történhet (bal kézzel (pakli alsó része) vagy jobb kézzel (pakli felső része) kezded a keverést), ahogy haladsz előre a keverések számával (n), úgy egyre több lehetséges kimenetel jöhet létre. A pikk ász tekintetében tehát

0 keverés után 1 (2^0) lehetséges y érték van (1., hiszen az a kiindulópont, hogy ez a lap van legalul);

1 keverés után 2 (2^1) lehetséges y érték van (1. vagy 2.);

2 keverés után 4 (2^2) lehetséges y érték van (1., 2., 3. vagy 4.);

3 keverés után 8 (2^3) lehetséges y érték van (1., 2., 3., 4., 5., 6., 7. vagy 8.;

és így tovább n <= 5-ig.

n = 6 esetében már 64 (2^6) lehetséges helyre kerülhet a pikk ász, ami egy 52 lapos pakli esetén nyilván nem értelmezett. Ennek egyszerű a feloldása: az első 5 keverés után a pikk ász az elsőtől a 32-edik helyig bárhol egyenlő ((1/2)^5) valószínűséggel található meg, azonban, mint korábban (előző válaszomban) már írtam, amint a lap a 27-edik, vagy magasabb helyzetbe kerül, keverésnél átkerül a jobb kezedbe (tehát a pakli felső felébe), így a 27-edik helyen álló lap már újra kerülhet az első vagy második helyre, a 28-adik helyen álló a 3. vagy 4. helyre, és így tovább.

Kevesebb (mondjuk 10) lappal átgondolva könnyen felismerhető egy ismétlődő minta a pikk ász lehetséges helyeiről.

Mint fentebb írtam, a pikk ász összes lehetséges előfordulási helyeinek száma (megj. ebben többször is előfordul ugyanazon a hely, mivel ugyanabba a helyzetbe több úton is kerülhet) 2^n (n továbbra is a keverések száma), és mivel a minta szabályosan folytatódik, a számunkra tetsző (tehát legalsó, azaz 1. pozíció) helyzetek száma pedig 2^n//52 + 1 (ahol // lefelé kerekített osztás, azaz 5//2 = 2, és 5//3 = 1).

Innen már eljutunk a megoldáshoz, vagyis n számú keverést követően 52 lapos paklival a pikk ász a legalsó helyre az alábbi valószínűség szerint kerül vissza (vagy marad ott):

(((2^n // 52) + 1) / 2^n)

Pár n értékre ez a következőt jelenti:

0 keverés - 100 %

1 keverés - 50 %

2 keverés - 25 %

3 keverés - 12.5 %

4 keverés - 6.25 %

5 keverés - 3.12 %

6 keverés - 3.12 %

7 keverés - 2.34375 %

8 keverés - 1.953125 %

9 keverés - 1.953125 %

10 keverés - 1.953125 %

11 keverés - 1.953125 %

12 keverés - 1.9287109375 %

.

.

.

10.000 keverés - 1.9230769230769231836752908293... %

.

.

.

100.000 keverés - 1.9230769230769231836752908293... %

És ez itt kb meg is áll..

Tetszőleges páros számú kártyalap esetén az 52 helyettesíthető a kártyalapok számával, páratlan számú pakli esetén szerintem módosul, annak nem számoltam utána.

üdv,

Attila