Gyök alatt (x-2)^2 = x-2 mért nem igaz minden valós számra?

((-1)-2)^2 = 9

-1-2 = -3

A 2-nél nem kisebb valós számokra igaz csak!

Bocsánat, a végét nem írtam le:

a bal oldal a gyök definíciója miatt 3, nem -3.

"Ha mindkét oldalt négyzetre emelem, akkor nem az van hogy bal oldalról eltűnik a gyökjel, és mindkét oldalon (x-2)^2 marad?"

Ez pontosan így van.

A gond csak az, hogy a négyzetre emelés nem úgynevezett ekvivalens átalakítás a valós számok halmazán, ami a következőt jelenti;

-ha a=b, akkor a^2=b^2 igaz minden további nélkül, viszont ha a^2=b^2, akkor a=b nem mindig igaz. Például ha a=3 és b=-3, akkor látható is, hogy miért nem (amit már korábban hoztak is példának).

Egyébként ha tudjuk azt az egyébként már tanult összefüggést, hogy tetszőleges valós a-ra

gyök(a^2) = |a|, akkor máris láthatjuk, hogy a bal oldalon |x-2| van, vagyis

|x-2| = x-2, amiből már látszik, hogy ha x<2, akkor akadnak problémák az egyenlőséggel. Persze erre az egyenletre is igaz, hogy ha mindkét oldalt négyzetre emeled, akkor (x-2)^2 = (x-2)^2 egyenletet kapod, ami egyébként azonosság, de mivel a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás, ezért születnek hamisgyökök.

Egyébként a példánál az szokott a beugratás lenni, hogy a négyzetre emelés és a gyökjel "kiütik egymást", vagyis a bal oldalon x-2 marad, így egyenlőséget kapunk újfent, viszont NEM EZZEL EGYENLŐ, hanem |x-2|-vel.