Létezik olyan app mobilon, amivel meg tudom nézni mire keres rá a gyermek inkognító módban?

Nem. Nincs, vagyis én nem tudok róla.

Olyanról se tudok, ami "nem-inkognító" módban is képes ilyesmire. (Ugye a history törölhető).

Erre hálózati eszköz jó, lásd: HTTP Proxy.

Ami képes loggolni, hogy milyen weboldalakat látogatott meg domain alapon, de hogy itt mit lát vagy mit írt be hova azt a "HTTPS" titkosított csatornája miatt nem látható.

HTTP Proxy is max akkor hatásos, ha saját hálózatból megy ki az internetre. Mobilnet esetén kvázi kikerüli ezt, kivéve ha beerőszakolod a mobilnet forgalmát egy olyan VPN csatornába, aminek a másik vége a Proxy mögött van. Így minden esetben a Proxy-n át kell mennie.

Google Family Link? Bár nem megoldás a kérdésedre.

Bár nem arra szolgál, hogy mit nézett meg, hanem hogy hogyan használja az eszközt, miket telepíthet vagy mettől-meddig legyen zárolva.