Vettem ma egy új processzort, de elfelejtettem hozzá venni pasztát. Ha kb egy hétig így üzemel paszta nélkül lehet valami baja a processzornak? Egyébként egy i5 6500-rol van szó.

Ne használd így egy percig sem ! Ennyi.

gyakran ki és bekapcsolhat a gép és hát nem is tesz sok jót neki

Nem érdemes így használni, de azért nem kell feleslegesen túllihegni sem a témát. Anno ugyanígy jártam, gondoltam ha már megvettem legalább megnézem, hogy beröffen-e, aztán a következő bő fél évben valahogy elfelejtődött a paszta vásárlás, egyetlen újraindulásom nem volt, utána még ~3 évig volt nálam a proci, mindenféle hiba nélkül(és megjegyzem egy fx6100 ról beszélünk, gyári hűtővel - mielőtt jönne a kérdés, azért nem volt paszta a gyári hűtőn mert lyukaskezű vagyok, elejtettem, ráesett a szőnyegre, összeszedett mindenféle kis szöszt, gondoltam jobban járok ha leszedem az egészet és "majd holnap" szerzek pasztát rá).

Újonnan veted? (boltból?) A gyári hűtőt használod?

Azon van gyárilag paszta.

Az új gyári hőtő előre van pasztázva, de amúgy szerintem is lehet használni akár paszta nélkül is a hűtőt csak picit rosszabb hatékonysággal. Én is csináltam már ilyet ideiglenesen és nem történt semmi csak alapon lett +5C terhelve meg +10C a pasztás megoldáshoz képest. A használata ettől függetlenül ajánlott vagyis nem ellenzem a pasztát, de tényleg nem kell túlozni sem a dolgokat (ha a hűtő teljesítmény nagyon ki lenne centizve, akkor természetesen már nagyon fontos).