Hogy kell bizonyításokat csinálni?

Huh. Nem egyszerû kérdés. Talán kezdj könnyebb feladatokkal.

Illetve a "tételeknek" is bizonyításuk van, körülbelül olyat kell reprodukálnod, érdemes megnézned néhányat, hogyan néznek ki.

Meg, egyszerû de hasznos lehet az esetszétválasztós bizonyítasokat jól megérteni (még 3. osztályos matematikaversenyekbõl).

A feladatra

> f(C u D) = f(C) u f(D)

Azt akarod belátni, hogy a K képhalmaz egy adott H halmazzal egyezik meg. Ezt úgy teszed, hogy megmutatod hogy a K kép benne van az adott halmazban, illetve, az adott halmaz benne van a képben. Máshogy: mindenki, aki elõáll képként az f(C) u f(D) =: H beli, és mindenki, aki ebben a H-ban benne van, az konkrétan elõ is áll képként. Két részre bontod:

1: K kép >= H halmaz:

másképp: minden y-ra, ha y e H, akkor y e K kép, azaz, létezik x, hogy f(x)=y, és x e (C u D).

Valóban, ha y e H, akkor, az unió definíciója miatt y e f(C) vagy y e f(D).

Tfh elõbbi. Ekkor létezik hozzá x, és x e C. (y e f(D)-re ugyanígy). //

2: K kép <= H halmaz:

másképp: minden y-ra, ha y e K kép, akkor y e H.

Ha y e K kép, akkor létezik x e (CuD), hogy y = f(x). Az unió definíciója miatt x e C vagy x e D. Ha az elõbbi, akkor y=f(x) e f(C) c f(C) u f(D). Ha az utóbbi, akkor ugyanígy. //

((

az e karakter a \in

az u karakter a \cup

a c karakter a \subset

a H az a f(C) u f(D) halmaz

a K az a f(C u D) képe

(a feladat elején még nem tudjuk hogy H=K, ezért kapnak külön betût.)

))

Megjegyzés: a halmazokra tett állítás, miszerint H <= K, (vagy H c K) megfeleltethetõ egy elemekre, jobban mondva H elemeire tett állítással, miszerint:

(H<=K) <==> (minden h e H-ra, h e K is teljesül)

érdemes lehet néha ide-oda váltogatni a halmazokra tett állítások és az elemeire tett állítások között.

Megjegyzés2:

Szemléletesen az állítás triviális. (BTW remélem jó állítást oldottam meg egyáltalán, nem látom a spec karaktereket, vagy te hagytad le õket, vagy a tabletes böngészõm nem jeleníti meg õket)

Úgy érdemes erre gondolni, hogy fogsz egy lapot, rajzolsz egy krumplit, beleírod hogy C. Illetve, valamivel tõle jobbrább egy másik krumplit, beleírod hogy f(C).

Aztán, újra bal oldalon rajzolsz egy krumplit, amelyik metszi a C feliratú krumplidat, és beleírod hogy D. Jobb oldalt elkészíted az f(D) feliratú krumplit.

Aztán az egész ábrádat úgy képzeled, hogy a bal krumplikból minden pontot átvisz a jobb krumplikba az f() leképezésed. (Különbözõ pontokat vihet ugyanoda.) És jól látszik, hogy a (C u D) teljes területét pontosan az f(C) u f(D) -be fogja vinni az f() leképezés.

(a fentebb adott bizonyításom nem ezt az ábrát tükrözi. Gyakran van, hogy a szemléletes kép segít egy bizonyítás során, ha mondjuk az ember "látja hogy az állítás igaz". Talán most nem ez a helyzet, itt a bizonyítás nem kapcsolódik szorosan az ábrázoláshoz.)

Bocs az offért.

Akkor átadom a terepet azoknak, akiknek van ötletük arra, hogyan lehet bizonyítani megtanulni.

Logikus lépések során el kell jutni a kiindulási állítástól a végsőig. Magából bizonyításból is sokféle van, erre van a klasszikus "gyökkettő", Pithagorász-tétel, a nevezetes azonosságok, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, szinusz és koszinusztétel, geometriai tételek, stb... Javaslom, ismerkedj meg Pólya György könyveivel.

(Egy halk kérdés: ugye, te csak túlélni akartad a matekórákat, mondván: "úgysem fogom ezt használni semmire"? Nem csesztetni akarlak ezzel.)

Ha túlélni is akarod csak; ez a fajta tudás (végiggondolni legalább 3 lépést egyszerre fejben, szépen, logikusan, helyesen, és hogy tudd valamirõl hogy az egy bizonyítás) valószínûleg szükséges lesz a területeden, akármivel is foglalkozz (amihez fõiskola/egyetem kell).

Ha a deriválás nem is érdekel késõbb, a bizonyításos feladatokat nagyon érdemes megtanulni. (Illetve, nagyon nem érdemes "rossz" szinten állni belõle)