A prímszámokat miért a természetes számok halmazán értelmezzük?

Tudod, furcsa dolog az a prímekkel, hogy talán a legegyszerűbb matematikai definíció, és még sokan ezt sem tudják magukévá tenni (sőt, sokak szerint még az 1 is prímszám).

Szerinted mi lenne akkor, hogyha kiderülne, hogy a prímszámoknak 4 osztójuk van? Összedőlne a kártyavár.

Szóval közoktatásban maradjunk annál, hogy a prímszámok pozitívak, emeltebb szinten meg különbséget tudunk tenni pozitív és negatív prímszám között.

3-as, mik azok az egész számok?

4-es, akkor a (-1/9) is egész szám?

Lehet definiálni negatív számokra is, de ha óvatlan az ember, akkor elveszik a prímszámok legfontosabb tulajdonsága, bizonyos számok többféleképp is felírhatók lesznek prímszámok szorzataként: 6=2*3=(-2)*(-3). Ezt mindenképp szeretnénk elkerülni, mert a prímszámoknak éppen az a lényege, hogy a többi szám egyértelműen állítható elő belőlük szorzatalakban. Ezért kénytelenek vagyunk a 2-őt és a -2-őt, a 3-at és a -3-at, stb. "ekvivalensnek" tekinteni. Így azonban lényegében visszakapjuk azt a struktúrát, amit pozitív egészekkel dolgozva kapunk.

Ez a dolog, hogy egy számot és a -1-szeresét ekvivalensnek tekintjük, elég mesterkélt megoldásnak tűnhet, és itt az is. De általánosabb környezetben ez egy fontos technika, aminek segítségével a komplex számok bizonyos részhalmazain (pl. a Gauss-egészeken) is lehet prímszámokat értelmezni és számelméletet csinálni, ami nagyon jópofa dolog, és meglepően szép alkalmazásai vannak.

8-as: Igen, de elmagyaráztad, hogy miért kell, és példát is hoztál, azért így talán könnyebb megérteni ugyanazt.

A 7-es vagyok.