Tudnátok nekem segíteni? Matek 12. osztály

Nagyon egyszerű belátni; minden számtani sorozat felírható d*n+c alakban, ahol d a differencia, n a sorozat tagjának sorszáma, c pedig egy konstans. Ha n=c, akkor a sorozat tagja d*c+c, ami biztosan osztható |c|-vel (hacsak nem c=0, de a d*n alakú sorozattal nincs probléma), eredményül pedig d+1-et kapunk. Az esetek többségében jók is vagyunk, mivel két osztót találtunk a c-edik taghoz, az 1 és önmaga pedig triviális osztói, tehát legalább 4 osztót találtunk (vagy 3-at, ha c=d+1). A gond ott kezdődik, hogyha ez a két osztó valójában triviális osztó, tehát

-vagy d=0, ami nem lehet, mert akkor a sorozat nem szigorúan monoton növő

-vagy |c|=1, tehát vagy c=1 vagy c=-1, tehát a d*n+1 és d*n-1 alakú számtani sorozatokkal még van dolgunk. Szerencsére ez is könnyedén megoldható, csak toljuk el a sorozatot, ehhez az n-hez adjunk hozzá 10-et, így a d*(n+10)+1 és d*(n+10)-1 sorozatot kapjuk (ezzel ugyanazt a sorozatot kapjuk, csak minden tagot 10-zel korábban, az első pár tag pedig kiesik, ami nem baj). Ha kibontjuk a záróleket, akkor a d*n+(10d+1) és d*n+(10d-1) sorozatokat kapjuk, ahol a zárójeles részek c funkcióját töltik be a korábbi részből, tehát itt is találunk összetett számot (nevezetesen a 10d+1-edik és 10d-1-edik tagokat).

Ezzel beláttuk, hogy minden körülmények között lesz olyan tag, amely összetett szám.