Hány 0-ra végződik az 1^2×2^2×3^2×. ×99^2×100^2 szorzat?

Ötlet: Bármely ötre végződő számot megszorzunk egy páros számmal, akkor a szorzat legalább egy nullára fog végződni. Így meg kell számolni, hogy hány darab ötre végződő szám van ebben a szorzatban.

5^2; 15^2; 25^2; 35^2; ...; 95^2 ---> 20 db ötre végződő szám a négyzetre emelés miatt. Ebből következik, hogy az ötösök miatt biztosan lesz 20 db nulla

10^2; 20^2; 30^2;...; 100^2 ---> itt 22 db nulla lesz

42 db nullára fog végződni a szorzat.

Az én megoldásommal kijön a 48, ami szerintem jó is (nyilván :) ):

Először is a hatványozás azonosságai szerint a fenti szám egyenlő = (1x2x3x...x100)^2-al. Nézzük meg az 1x2x3x...x100-nak mennyi nullás jegye van! A 10 felírható prímtényezők szorzataként =5*2. Ilyen számokat keresünk, amikből összevadásszuk a 10-es szorzókat, amik gyakorlatilag majd a 0-ákat fogják jelenteni a szám végén, hasonlóan az előttem szólóhoz! Nyilvánvaló hogy több 2-est fogunk találni, mint 5-öst így azokból kellően sok van (remélem ennyi elég bizonyításnak erre a részre egészen triviális). Tehát hány 5öst találhatunk? nyilván csak az 5el osztókat kell nézegetnünk, ezekből 100/2 db van. Ugyanakkor vannak olyan számok melyeknek prímtényezős felbontásában két ötös szerepel nem csak egy, ilyen pl.: 25=5*5, 50=5*5*2, 75=5*5*3 és 100=5*5*2*2. Tehát ezekből összesen 4*2=8db 5-ös jegyet tudunk felhasználni, míg marad további 20-4=16db 1-es ötös a többiből. Ez összesen 24db ötös, mivel 2-esből kellően sok van, így 24 tízest tudunk csinálni, és így 24nulla lesz, ami azt jelenti hogyha ezt hatványozzuk(^2), akkor 24*2=48 nullás végződés lesz a kérdezett számban!

Adott két azonosság:

a^b * c^b = (a*c)^b

1 * 2 * ... * n = n!

Ezek alapján egyszerűsítve a feladatot:

... = (100!)^2

Továbbá felhasználva a nagy tudást, hogy a kettővel hatványozás megkétszerezi a nullák számát:

10^2 = 100

100^2 = 10000

A feladatunk tehát az, hogy számoljuk ki, hány nullára végződik 100! és az eredményt szorozzuk meg kettővel. Három tényt fogunk kihasználni:

1) Tíz hatványokat kettesek és ötösök szorzatával előállíthatunk.

2) Az n! szorzat eredménye annyi nullára végződik, amennyi a prímtényezős felbontásában a kettes és ötös prímtényezők közül a legkisebb hatványkitevő.

3) n! prímtényezőjében biztosan nagyobb lesz a kettes prímtényező hatványa, mint az ötösé, mert minden második szám osztható kettővel és csak minden ötödik szám osztható öttel

Szóval, ha megnézzük, hogy 100-at hány ötös prímtényező alkotja:

100 / 5^1 = 20

100 / 5^2 = 4

(az 5^3 már nagyobb, mint 100, tehát megállunk).

Szóval az eredmény: (20+4) * 2 = 24 * 2 = 48