Valaki segítene nekem ebben a fizika feladatban?

*ja és lehetőleg üres legyen; bár az nem anynira fontos; de csak azért, hogy az egész test legyen átlátszó, necsak az a kevés, amennyi már ki van ivva belőle, hanem az egész üres legyen; de emiatt most ne hajtsd föl az egészet; akkor nézzed olyannal, amibe víz van:.)

De ez nagyjából mindegy; szóval szerintem mindenképp átmegy rajta a fény:)

Gondolkozzunk visszafele, a palásttól indulva.

Ha nem megy át a fény a palást által kijelölt közeghatáron, akkor az azt jelenti, hogy mindenestül visszaverődik róla (ugye a közeghatár az egy felület, nincs térfogata, így elnyelni nem tud, negyedik lehetőség meg nincs). Szóval az első kérdés, hogy milyen szögben érkezhet a fény az n1 = 1,3-as és n2 = 1 törésmutatójú közegek közti határra az 1,3-a törésmutatójú közegből, ha teljesen visszaverődik. A teljes visszaverődésnél a beesési α1 szögre

α1 ⩾ arcsin(n2/n1) = arcsin(1/1,3) ≈ 50,28°.

(Hogy ez a határszög, az könnyen kijön a Snellius–Descartes-törvényből, ugyanis ha a a megtört fénysugár kilépési szögének szinuszára 1-nél nagyobb szám jön ki, akkor az a fénysugár nem létezik, így csak visszavert lesz:

n1*sin(α1) = n2*sin(α2),

sin(α2) = n1/n2*sin(α1) ⩾ 1,

sin(α1) ⩾ n2/n1,

α1 ⩾ arcsin(n2/n1).)

Már tudjuk, hogy a fény beesési szöge a palástra α1 ⩾ arcsin(n2/n1). Mielőtt odaért a palásthoz, a henger alapjánál volt (remélem, ez nem meglepő), így az a kérdés, hogy mi lehetett β2 a törési szög az alapnál, ha a palástnál α1 volt a beesési szög. A hengerben a fény egyenesen megy, tehát ha rajzolsz egy ábrát a henger keresztmetszetével (két merőleges félegyenes), a beesési merőlegesekkel (az „oldalakkal” együtt egy téglalap), és a fénysugárral (ami a téglalap egy átlója lesz a palástról történő visszaverődésig), akkor láthatod, hogy az α1 és a β2 egy derékszögű háromszög két hegyes szöge, tehát az összegük éppen π/2:

α1 + β2 = π/2,

β2 = π/2 – α1 ⩽ π/2 – arcsin(n2/n1) ≈ 39,72°,

ahol helyettesítettem az egyenlőtlenséget.

A visszafele gondolatmenetünk utolsó lépése, hogy az alapnál mekkora lehet a β1 beesési szög, hogyha a törési szög β2 lett (ez éppen a feladat kérdése, csak a 'beesési szög'-re bevezettem a β1 rövidítést, amit egyszerűbb beírni a képletekbe). Erre van a Snellius–Descartes-törvény:

Most az n' = n2 = 1 törésmutatójú közegből megyünk az n'' = n1 = 1,3 törésmutatójúba:

n'*sin(β1) = n''*sin(β2),

n2*sin(β1) = n1*sin(β2),

β1 = arcsin(n1/n2 * sin(β2)) ⩽ arcsin(n1/n2 * sin(π/2 – arcsin(n2/n1))) = arcsin(n1/n2*sqrt(1 – (n2/n1)^2)) ≈ 56,17°,

vagy – ha már zavar a sok betű, de csak akkor – β2 helyére a részeredményt írva:

β1 ⪅ arcsin(1,3/1 * sin(39,72°)) ≈ 56,18°.

Az 56,17° pontosabb, mert ott nem kerekített értékeket helyettesítettünk, de mivel a törésmutatók csak két értékes jegyre voltak megadva, ezért mi is a kerekített 56°-ot húzzuk alá végeredményként:

56°-nál kisebb beesési szögben kell megérkezzen a fény a henger alapjára, hogy ne léphessen ki a paláston.

A teljesség kedvéért még azt tessék végiggondolni, hogy amikor a keresztmetszeti ábrát rajzoltuk, és kiszámoltuk az α1 és β2 kapcsolatát, akkor olyan fénysugarat képzeltünk el, ami az alap középpontjánál esik be. Szabad-e ilyet a feladat szempontjából? Azaz tényleg az α1-nél nagyobb α1' beesési szögben fogja-e elérni a palástot (és így biztos teljes visszaverődést szenvedni) a hengerben haladó fénysugár, ha az alapkör középpontjától távolabb, a palásthoz közelebb lépett be a hengerbe? Vagy a középpontól mért különböző 0 ⩽ r < R távolságokra külön-külön végeredményt kell kapjunk, és számoljunk?

///***------***///

Kevésbé szájbarágósan (avagy mit írj a feladatlapon található egy negyed oldalas helyre, hogy megkapd a teljes pontszámot):

Ha a henger törésmutatója n1, a levegőé n2, akkor a teljes visszaverődés miatt a hengerben a fénysugár beesési szöge a palástra

α1 ⩾ arcsin(n2/n1).

Ehhez az alapnál

β2 = π/2 – α1 ⩽ π/2 – arcsin(n2/n1)

törési szög tartozik, amire a Snellius–Descartes-törvény alapján

n2*sin(β1) = n1*sin(β2),

tehát

β1 = arcsin(n1/n2 * sin(β2)) ⩽ arcsin(n1/n2*sqrt(1 – (n2/n1)^2)) ≈ 56,17°.

Azaz 56°-nál kisebb beesési szögben lehet az alapra ejteni a fénysugarat, hogy az ne léphessen ki a paláston.

(((Meg ne feledd mellé rajzolni legalább 4 cm szélességben az ábrát α1-gyel és β2-vel. Még a β1-et is érdemes bejelölni.)))

Illetve ellenőrizd, hogy nem számoltam-e el valamit, mert az is könnyen megeshet. Főleg itt, a GyakoriKérdéseken.