Az ABCD trapézban AB||CD. Hogy igazolható, hogy az ABCD trapéz akkor és csak akkor paralelogramma, ha AC^2+BD^2= AB^2+BC^2+CD^2+DA^2?

Megoldottam, de bonyi.

Vektorokkal és skaláris szorzattal dolgoztam, két egymás után írt nagybetű most itt mindig vektort fog mindig jelenteni, oké? A * jel a skaláris szorzat, a + és - vektorok összege és különbsége, a ^2 jel pedig egy vektor önmagával vett skaláris szorzatát jelenti, ami a hosszának a négyzete. Ezek után mehet a móka:

AC = AB+BC = AD+DC és

DB = AB-AD = DC-BC

Az egyenlőségek mindkért oldalát önmagával skalárisan szorozva és az így kapott négy egyenlőséget összeadva:

AC^2 + AC^2 + DB^2 +DB^2 = AD^2+2AD*DC+DC^2 + AB^2+2AB*BC+BC^2 +

+AD^2-2AB*AD+AB^2 + DC^2-2DC*BC+BC^2

Rendezve és szorzattá alakítva:

2(AC^2+BD^2) = 2(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2) + 2(AD-BC)*(DC-AB)

Rajzold be az AD-BC és a DC-AB vektorokat! Ezek épp egymás ellentettjei, mivel AB||CD.

Merőlegesek nem lehetnek, skaláris szorzatuk csak akkor lehet 0, ha nullvektorok, ekkor pedig ABCD paralelogramma!

"skaláris szorzatuk csak akkor lehet 0"

helyett ezt akartam:

"skaláris szorzatuk csak akkor és csak akkor lehet 0"

ezzel megvan a másik irány is.