Mi az a súlyozott számtani közép?

Adott egy n tagból álló sorozat, pl. mérési adatok, ezeket jelölje x1, x2, x3,..., xn.

A közönséges számtani átlag ugye (x1+x2+x3+...+xn)/n.

A súlyozott középnél minden xk (k=1,2,...,n) értékhez egy sk súly tartozik, és az így képzett átlag:

(s1*x1+s2*x2+s3*x3+...+sn*xn)/n.

Figyeljük meg, hogy a közönséges számtani átlag speciális esete a súlyozott középnek. Ugyanis, ha s1=s2=...=sn =1, akkor a súlyozott átlag képlete a közönséges számtani átlag képletét adja.

Tegyük fel, hogy valakinek ilyen jegyei voltak idén matekból:

3;2;1;1;3;3;4;4;2;5;5

Ekkor definíció szerint az átlag:

(3+2+1+1+3+3+4+4+2+5+5)/11 = 33/11 = 3

Kevés szám esetén így is lehet számolni, de több szám esetén (pláne ha több azonos érték van) a kevesebb időt felölelő számolás kikerülése érdekében érdemesebb az azonos számok összegét szorzatalakban felírni:

([2]*1+[2]*2+[3]*3+[2]*4+[2]*5])/11 = 33/11 = 3

A szögletes zárójelben lévő számok azt jelölik, hogy az utána álló érdemjegyből mennyi van, például a [2]*4-ben a [2] a négyesek számosságát jelöli. Gyakorlatilag ezeket a "zárójeles" számokat hívjuk mi súlyoknak.

Nem meglepő módon a súlyok összege pont annyi, mint amennyivel osztunk, emiatt még egy érv szól a súlyozott alak mellett; könnyebb összeszámolni belőle, hogy mennyivel is kell osztani (ahelyett, hogy egyesével leszámolnánk a tagokat), csak össze kell adni őket. (Ez a rész kimaradt a fenti -egyébként szabatos- leírásból).

Bár nehéz elképzelni olyan problémát, ahol "tört"adatokkal kellene számolni, megeshet, hogy a súly nem természetes szám, hanem akár törtszám is lehet; lehetőségük van arra is a tanároknak, hogy egy jegyet "kis" jegynek vegyenek, ami felét éri a "normál" jegynek. Például ha valakinek van egy normál 5-öse és egy kis 2-ese, akkor az átlag így néz ki (a fentiek értelmében):

(1*5+0,5*2)/(1+0,5) = 6/1,5 = 4

Arányaiban nézve az egy kis 2-es és az egy normál 5-ös úgy viszonyulnak egymáshoz, mint egy normál 2-es és egy "kettőt érő" (mondjuk témazáró) 5-ös, ekkor az átlag:

(2*5+1*2)+(2+1) = 12/3 = 4

Ez csak azt jelenti, hogy ha "tört"értékekkel kellene számolnunk, akkor az adatok egymáshoz való arányából kiindulva mindig konstruálható olyan eset, ahol minden adat egész értékű (súlyú), emiatt lehet a törtsúlyozással is számolni (a másik megközelítés az, hogy a fenti törtet egyszerűen csak bővítjük (vagy az egész súllyal rendelkező átlagot egyszerűsítjük), így annak az értéke nem fog változni).

A súly irracionális értékű is lehet, de ennek inkább csak elméleti jelentősége van. Legalábbis olyan értelemben, hogy a való életben mindig bizonyos kerekítéssel kell számolni, de konstruálható olyan matematikai példa, ahol a lehető legpontosabb erdményhez irracionális súllyal kellene számolni; például vegyünk egy gömb és egy henger alakú edényt, töltsük meg őket valmilyen %-os oldattal, majd az oldatokat öntsük össze egy harmadik edénybe, és az a kérdés, hogy hány %-os az így kapott oldat; ekkor a súlyok az előbbi edények térfogatai lesznek, amik gömb és henger esetén -jó eséllyel- irracionálisak lesznek. De a koordináta-geometriában egy adott szakasz s:t arányú osztópontját is a súlyozott átlag képletével számoljuk, és éppen lehet kérdés pont az a pont, amely a szakaszt gyök(2):gyök(3) arányban osztja; ekkor szintén irracionális súllyal kell/érdemes számolni.

Az is látható, hogy ilyen esetben nem tudjuk a definíciót használni, már csak azért sem, mert nem tudjuk e nélkül meghatározni, hogy mennyivel kell a végén osztani. Mert megtehetjük persze azt, hogy jó, akkor a "fél 2-es" érjen 1-et, és 1+5=6, de akkor ezt nem 2-vel kellene osztani, pont amiatt, mert az 1-es nem ugyanolyan súllyal kerül az összegbe, mint az 5-ös, így 2 helyett 1,5-del kell osztani.

Összegezve: súlyozott számtani közép (átlag) esetén az adatokat meg kell szoroznunk a hozzájuk rendelt súllyal, az így kapott szorzatokat össze kell adni, majd ezt az összeget a súlyok összegével kell osztani.

Szép megközelítés a #2-es válaszoló leírása is. Hogy egy műszaki példa is legyen, a súlypontszámítást lehet felhozni. A súlyozott átlag megnevezése is részben innen adódik, hiszen aszerint hogy térfogatsúlypontot, felületsúlypontot, vonalsúlypontot számolunk, a megfelelő súlyokat a térfogatelemek, felületelemek, vonalelemek mértéke (térfogat,terület,hosszúság) jelentik.

A #1 annyival kiegészítendő, hogy az sk (k=1,...,n) súlyoknak ott normáltaknak kell lenniük.