Egy húrtrapéz alapjainak hossza 18mm, illetve 10mm, egyik szöge 70°. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal?

Nekem van egy megoldásom, nem tudom a feladatkészítők így gondolták-e.

Van egy ABCD húrtrapézunk. AB=18 mm; CD=10 mm; ABC szög = BAD szög = 70° és ADC szög = BCD szög = 110° (Mivel ugye a húrtrapéz tengelyesen szimmetrikus és a szemközti szögek összege 180°)

Rajzoljuk be az átlókat, az átlók metszéspontja legyen E.

A húrtrapézokról tudjuk ugye, hogy az alapok felező merőlegese szimmetriatengely, és az E pont illeszkedik a szimmetriatengelyre. Az AB oldal és a szimmetriatengely metszéspontja legyen G, a CD oldal és a tengely metszéspontja pedig H. Ekkor CH=5 mm és BG = 9 mm (a tengely felezi az alapokat)

CH meghosszabbításával hozzuk létre HGBF téglalapot. Mivel GBC szög (=ABC szög) 70°, CBF szög = 20°. Illetve a téglalap szemközti oldalai egyenlő hosszúak, tehát FH=9 mm, így CF=4 mm.

CBF háromszögben 4/BF = tg20°. Ebből BF = GH = 10,99 mm.

Aztán szerintem neked ez a lépés hiányzott: Az ECD háromszög hasonló az ABE háromszöghöz. (ACD szög és CAB szög váltószögek, illetve CDB szög és DBA szög szintén, tehát egyenlőek. Meg DEC is egyenlő AEB-vel, mert csúcsszögek.) Mivel a két háromszög hasonló, megfelelő oldalaik aránya megegyezik. HE/EG=HC/GB=5/9, tehát EG GH-nak a 9/14-e. Mivel GH=10,99 mm; EG = 10,99 mm * 9/14 = 7,065 mm.

EG/GB=7,065/9=tg(GBE szög), ebből GBE szög=ABD szög=38,13° (a tangens miatt természetesen kerekítve). Innen az átlók másik oldallal bezárt szöge már gondolom menni fog.

Remélem sikerült érthetően leírnom.

Hát ha az m magasság megvan, ugye ezt kiszámoltad, onnantól már gyerekjáték az egész.

Az alapokat jelölje ugyanis a1 és a2 (a2>a1) ekkor ezek hosszkülönbségének a fele h=(a2-a1)/2.

Geometriailag látható, hogy az átló és az alap által bezárt ß szögre:

tg(ß)=m/(a2-h), tehát ß=arctg[m/(a2-h)]. Világos?

A #4 választ nézd át, ott egyszerűen le van írva a levezetés. Mellesleg az ott bemutatott számítás azonos eredményt ad a #3-as válaszoló megoldásával.

Szóval a megoldókulcs rossz.

Egyébként egyszerűen beláthatjuk azt is hogy a megoldókulcs hibás:

A húrtrapéz egyik szöge 70° a feladatkiírás szerint. Ha ez így van, akkor ezt meg kell kapnunk úgy is, hogy az alappal bezárt átló szögét az átló és a szár által bezárt kisebbik szöggel növeljük.

Az állítólagos megoldókulcs szerint ez 38,48°+35,52° = 74°.

Tehát 4° az eltérés, ami 5,71% relatív hibát jelent, ennyi még kerekítésből sem adódhat.

Vagyis beláttuk, hogy a megoldókulcs hibás.

Kérdés?

Segít ez az ábra?

[link]

Abban a feladatban a magasság adott volt, de ebben az esetben a megadott szög (α) és az alapok ismeretében ez felírható, így a ß szög tangensét

tgß = [(a - c)/(a + c)]*tgα képlettel kaphatod.

A többi szög a rajz szerint.

DeeDee