A kúp magassága háromszor akkora mint az alapkörének a sugara, tengelymetszetének területe pedig 120 cm2 Mekkora V és A?

Először is az ilyen feladatokat a jövőben a házifeladatok kategóriába írd ki, tekintve hogy a kérdés nem tekinthető tudománynak.

Na akkor a feladat. Feltételezem, egyenes körkúpról van szó, ez a tengelymetszet miatt lényeges.

I.) A térfogat (V) meghatározása.

Az alapkör sugara R, tehát az alapkör területe T=pi*R^2.

A kúp magassága a feladat szerint 3*R. Mivel a térfogat V=alapterület*magasság/3, ezért

V=pi*R^3 adódik.

A tengelymetszet egy egyenlőszárú háromszög, amelynek az alapja 2*R magassága 3*R.

A tengelymetszet területét jelölje t, ekkor felírható a

t=3*R^2, mivel alap*magasság/2 összefüggés adja a területét a háromszögnek. Itt t van adva a feladatban, ezért R-et fejezzük ki:

R = gyök(t/3).

Ezért a sugár harmadik hatványa R^3 = (t/3)^(3/2).

Ezt visszaírjuk a térfogat képletébe:

V=pi*(t/3)^(3/2).

II.) A felszin (A) meghatározása.

A kúppalást területével foglalkozunk, ezt jelölöm A-val.

A kúppalást síkban kifejthető (gyűrődésmentesen) és ez a teríték egy körcik lesz, amelynek sugara épp a kúp alkotója (a). Az alkotó hosszát a Pitagorasz tételből kaphatjuk:

a=gyök[R^2+(3*R)^2] = gyök[R^2+9*R^2]=gyök(10*R^2)

tehát a=R*gyök(10)

A körcikkhez tartozó ívhossz

i=a*alfa=R*gyök(10)*alfa, ahol alfa a középponti szög.

Másrészt az ívhossz egyben a kúp alapkörének a kerületével is egyenlő, azaz:

i=2*R*pi.

Az ívhosszra felírt két összefüggés jobb oldalait egyenlővé tesszük:

R*gyök(10)*alfa=2*R*pi. Osztjuk mindkét oldalt R-el:

gyök(10)*alfa=2*pi, ebből

alfa=2*pi/gyök(10).

Ismert alfa középponti szögű és a sugarú körcikk területe egyszerű arányosság alapján

A=alfa*a^2/2.

(ennek helyességét ellenőrizheted, ha alfa helyére 2*pi -t írsz, ekkor egy teljes kör területét kapod vissza).

alfa-t beírva A képletébe:

A=[2*pi/gyök(10)]*a^2/2.

Itt ugye a=R*gyök(10), és az I.) pont szerint R = gyök(t/3).

Ezeket összevetve:

a=gyök(t/3)*gyök(10) vagyis a=gyök(10*t/3).

Ezzel:

A=[2*pi/gyök(10)]*(10*t/6).

Egyszerűsítve:

A=10*t*pi/[3*gyök(10)]

III.)Tehát a megoldások összefoglalása:

Ha adott a tengelymetszet t területe akkor

-a kúp térfogata: V = pi*(t/3)^(3/2).

-a kúppalást területe: A=10*t*pi/[3*gyök(10)].

Remélem világos minden.