Melyik a helyes? A, 0 B,1 C,2 D,4

Legyenek a és b téglalap oldalai pozitív egészek. Ekkor

2*(a + b) = a*b,

(a - 2)*(b - 2) = 4,

tehát (a - 2) és (b - 2) a 4 egy osztópárja kell legyen. Ilyenből összesen 6 darab van, de némelyik nem pozitív eredményt ad, meg olyan is lehet, hogy különbözőkhöz ugyanolyan téglalap tartozik, így rád bízom a befejezést.

Szóval legalább 0, és legfeljebb 6 a jó válasz.

Akkor lassan ideje lelőni a poént, csak a teljesség kedvéért. Ugye a 4-nek 6 darab osztópárja van, ez 6 egyszerű egyenlet a és b lehetséges értékeire:

(a – 2, b – 2) = (–4, –1) --> (a, b) = (–2, 1),

(a – 2, b – 2) = (–1, –4) --> (a, b) = (1, –2),

(a – 2, b – 2) = (–2, –2) --> (a, b) = (0, 0),

látható, hogy ezek nem adtak olyan megoldást, hogy mindkét oldal pozitív, tehát megfelelő téglalap sem tartozik hozzájuk;

(a – 2, b – 2) = (4, 1) --> (a, b) = (6, 3),

(a – 2, b – 2) = (1, 4) --> (a, b) = (3, 6),

ezek viszont létező téglalapok, de mivel a 3×6-os és 6×3-as téglalapok egybevágóak, ezért 1 megoldásnak számítanak;

(a – 2, b – 2) = (2, 2) --> (a, b) = (4, 4),

ami a korábban megtalált 4 egység oldalú négyzetet jelenti.

Szóval összesen 2 ilyen téglalap létezik (egybevágóság erejéig), így a helyes válasz a C.

Neked van igazad, ott a piros pont! :-)

Elegáns a szorzattá alakítás, de a találgatás zsákutcáit elkerülendő másként csináltam.

A kerület és a terület

K = 2(a + b)

T = a*b

Legyen

a = n*b

ahol n pozitív egész

Ezzel

K = 2(n*b + b) = 2b(n + 1)

T = n*b²

A két érték egyenlő (K = T)

2b(n + 1) = n*b²

'b'-vel egyszerűsítve, majd 'b'-t kifejezve

b = 2(n + 1)/n = (2n + 2)/n

Tagonként elosztva

b = 2 + 2/n

Mivel egész szám megoldásokat keresünk, a jobb oldal akkor lesz egész, ha a tört értéke egész

Ez csak úgy lehetséges, ha

n = 1 vagy n = 2

Ha

n = 1 --> b = 4 és a = 4

n = 2 --> b = 3 és a = 6

Tehát a két megoldás

egy 4x4 és egy 6x3 méretű téglalap.

> Legyen a = n*b ahol n pozitív egész

Az hol derül ki, hogy b osztója kell legyen a-nak? Illetve honnan tudjuk, hogy n egész? (Azt elhiszem, hogy pozitív.)

Pár sorral lejjebb, amikor kihozza, hogy

b = 2 + 2/n.