Hogyan oldjuk meg az alábbi egyenleteket? a) (2019^ x +1) /2 + (2019^ x +5) /3 + (2019^ x +11) /4 + (2019^ x +19) /5 + (2019^ x +29) /6 =15, x∈Z b) (x+2) /2 - 5= 5/ (2y+1), x, y ∈ N

a) A bal oldal szigorúan monoton növekszik, a jobb oldal pedig konstans, így legfeljebb 1 megoldás van. Illetve az x = 0 véletlenül pont megoldás, tehát készen vagyunk.

Általánosabban azt lehet csinálni, hogy felbontjuk a zárójeleket, 2019^x-re rendezünk, és vesszük a 2019 alapú logaritmusát.

b) Kicsit rendezgetünk (miután megjegyeztük, hogy y = –1/2-re nem értelmes), és kapjuk azt, hogy

(x – 8)*(2*y + 1) = 10

Innét kezdve x – 8 osztója kell legyen 10-nek, mivel csak egészek körében keressük a megoldást. Arra kell még figyelni, hogy ilyenkor a 10 negatív osztói is számítanak, hiába csak a nem negatív egészek között keressük a megoldást. (Ugye, mert ha x – 8 = –2, akkor az x = 6 még lehet jó.)

Erre van 8 lehetőség, 8 egyenlet külön x-re és y-ra, azokat kell megoldani, és kiválogatni a nem negatívakat (vagy pozitívakat, attól függően, miről állapodtatok meg N-nel kapcsolatban).

x – 8 = –10, 2*y + 1 = –1 --> x = –2, y = –1 --> NEM JÓ.

x – 8 = –5,… (hagy ne írjam végig)

Az (x, y) = (10, 2) és (18, 0) lesznek jók a végén.

a) Másik megoldás: mivel az egyenlet tele van 2019^x-nel, ezért nemes egyszerűséggel cserélük le valami jobban kezelhető ismeretlnere; legyen 2019^x=z, ekkor:

(z+1)/2 + (z+5)/3 + (z+11)/4 + (z+19)/5 + (z+29)/6 = 15

Ez már egy lineáris egyenlet, amit játszi könnyedséggel meg tudunk oldani, és eredményül

z=1 adódik.

Most írjuk vissza z helyére az eredetit:

2019^x=1, ennek pedig köztudottan x=0 az egyetlen megoldása.

(Nem muszáj leváltani a 2019^x-n, anélkül is pont ugyanúgy megy a levezetés, mint az átírással, de egyrészt sokkal átláthatóbb, másrészt sokkal kelvesebbet kell írni az átírással, így praktikusabb.)