Mekkora egy szabályos nyolcszög köré írható kör?

Ha lehet szögfüggvényt használni, akkor nagyon egyszerű; húzd be a nyolcsszög leghosszabb átlóit (amelyek átmennek a nyolcszög középpontján), ekkor keletkezik 8 egyenlő nagyságú szög középen. Ez a nyolc szög 360°-ot tesz ki, így egy szög nagysága 360°/8=45°. Ezzel az ábrán keletkezik 8 egyenlő szárú háromszög, mindegyeikre igaz, hogy szárszögük 45°-os és alapjuk 8 méter hosszú. Legyen a szárak hossza b, ekkor a koszinusztétel szerint:

8^2 = b^2 + b^2 - 2*b*b*cos(45°), erre megoldásnak

b = 8/(gyök(2-gyök(2)) adódik.

Mivel b egyébként a középpontot köti össze a csúcsokkal, ezért ez egyben a köréírható kör sugara is, tehát a köréírható kör sugara 8/(gyök(2-gyök(2)) cm hosszú.

Másképpen is megoldható, de ez az általános eljárás szabályos sokszögek esetén.

Nem egyértelmű, hogy a "mekkora" alatt mit értesz, de felteszem, hogy a kör területét. Akárhogy is, innentől minden adat adott, hogy kiszámold a kör kerületét vagy területét.

Itt egy gyüjtemény a nyolcszög adataiból és a köztük levő összefüggésekből.

[link]

A rajz eredetileg egy korábbi példához készült, melyben az volt a feladat, hogy egy A oldalú négyzetből a négy sarok levágásával keletkező szabályos nyolcszögnek mekkora az oldala, a kerületet és a területe. Ezért vannnak ezek az adatok a 'A' függvényében megadva.

A megadott arányok segítségével könnyen meghatározható a terület és a kerület bármelyik alapadat függvényében, csak egy kevés algebra és a Pithagorasz tétel ismeretével.

Kellemes bütykölést. :-)

DeeDee

**********