Miért lesz ez így? Miért így kell megoldani? Hogyan?

Gyökvonás azonosságai :

Gyök alatt 20 = gyök alatt 4x gyök alatt 5

Gyök alatt 4= 2

Kicsit részletesebben; elvileg tanultatok olyat, hogy gyök(a)*gyök(b)=gyök(a*b), ahol a;b nemnegatív valós számok. Ez természetesen fordítva is működik, tehát ha gyök(a*b) van, akkor az szétszedhető gyök(a)*gyök(b) alakra.

Nézzük, hogy a gyök(20) esetén mi van; bontsuk fel a 20-at tényezőkre, lehetőleg úgy, hogy valamelyik tényező gyöke majd egész legyen, tehát a 2*10 emiatt nem lesz jó, de a 4*5 már igen, tehát

gyök(20)=gyök(4*5), itt még nem történt nagy varázslat. Most használjuk a fenti azonosságot, így gyök(4)*gyök(5) lesz belőle. Definíció szerint gyök(4)=2, tehát 2*gyök(5) lesz a fenti számból.

Nagyobb számok esetén úgy érdemes okoskodni, hogy a számot prímtényezőkre bontjuk, és abból kiolvassuk, hogy miből lehet gyököt vonni.

Azert, mert ilyenkor a gyök ugy funkcionál kvázi mint egy zárójel.

20=4*5 --> ergo: gyök alatt 20 =( gyök alatt 4) * (gyök alatt 5) --> gyök alatt 4 meg 2, így itt eltűnik a gyök es ki lehet vinni az egész elé --> így lesz belőle 2 (gyök alatt 5)

Ha leellenőrzöd egy számítógéppel amugy látni fogod hogy tenyleg így van :)

Azert van ez, hogy könnyebben lehessen egyenleteket megoldani es könnyebben lehessen az amugy ,,természetellenes" gyökvonást kezelni

Gyök(4) az kettő. Nem mínusz kettő, nem plusz-mínusz kettő, hanem plusz kettő. Az sqrt(valami) mindig egy számot ad meg. Nem kettőt, nem ötöt, hanem egyet. Pl. 1,41...; 2; 3,4; pí stb.

Az viszont igaz, hogy pl. az x^2=4 egyenletnek kettő megoldása van:

x(1)=sqrt(4)=2

x(2)=-sqrt(4)=-2

Ezeket a megoldásokat a megoldóképlet is kihozza:

a=1, b=0, c=-4

x(1,2)=(0pluszmínusz sqrt(0-4*(-4)))/2= pluszmínusz sqrt(16)/2=pluszmínusz 4/2= pluszmínusz 2.

Az x^2=4 egyenletnek nem azért van 2 megoldása, mert a megoldóképlet hozza ki, a sima megoldás is kihozza, csakhogy a gyökvonást nem normálisan tanítják...

Vegyük mindkét oldal gyökét:

gyök(x^2) = gyök(4)

A jobb oldalon gyök(4)=2, ez világos. A bal oldalon gyök(x^2) értéke viszont nem x, és itt a fő probléma az (vagyis hogy a -2-t miért nem kapják meg gyökvonással), hogy mivel ha gyök(x^2)=x, akkor ez nem egy ekvivalens átalakítás, mivel a negatív számok nem fogják kielégíteni az egyenletet, vagyis például ha x=-5, akkor gyök((-5)^2)=-5 nem igaz. A gyök(x^2) értéke valójában |x|, tehát ezt kapjuk:

|x|=2, és erre jön ki az x=+-2 eredménynek.