Bizonyítsd be, hogy létezik végtelen mennyiségű függvény f:R->R, melyre teljesül a következő egyenlőség f (x+1) -f (x) =2x!?

Ha 1 van, akkor végtelen sok van, elég csak c-vel eltolni a függvényt, c-ből pedig végtelen sok van.

Elég olyan függvényt keresni, amelyre a különbségben csak valahány*x szerepel, ekkor a függvényt csak a megfelelő számmal kell osztani/szorozni.

Valószínűleg a polinomok között kell keresnünk a megoldást. Az elsőfokúak között nem lesz, és azért nem, mert mindig +valami bekerül az eredménybe. A másodfokúaknál arra kell törekednünk, hogy a konstans tag eltűnjön (a négyzetes tag mindig kiesik, az nem okoz gondot), ennek orvosolására ezt a függvényt találjuk; legyen f(x)=(x-0,5)^2, ekkor f(x+1)-f(x)=(x+0,5)^2-(x-0,5)^2=x^2+x+0,25-(x^2-x+0,25)=2x, ezzel meg is vagyunk, variálni már nem is kell.

Tehát a feladatra az f(x)=(x+0,5)^2+c alakú függvények lesznek jók, ahol c valós szám (akár még komplex is lehet).

Persze lehetnek még más megoldások is, de a feladat ennyivel megelégszik.

Az ilyen függvények és a [0,1) intervallum függvényei külcsönösen meghatározzák egymást.

Tehát annyi ilyen függvény van ahány [0,1)->R függvény van, mégpedig 2^(2^w), ami végtelen.