30°-os szögben 100méteres lejtőn 50 cm. Magasságból leejtünkegy labdát. a) hányat fog pattogni míg leèr? b) határozd meg az egyes pattanások között eltelt időt!?

- Én úgy képzelem el az ábrát, hogy balról indul a labda és jobbra lefelé fog pattogni.

- Energiamegmaradással ki tudod számolni, hogy mekkora v sebességgel ér le először a labda a lejtőre. v függőlegesen lefelé mutat.

- Legyen az x tengely a lejtő iránya, az y pedig az arra merőleges irány.

- Fordítsd el a füzetedet 30 fokkal, hogy vízszintesen álljon az x. Ebben a koordináta-rendszerben írd fel v-nek a vx és vy komponenseit, és ugyanígy g-nek is a gx és gy komponenseit! Itt a g is két komponensű!

- Amikor visszapattan a labda, az ebben a koordináta rendszerben azt jelenti, hogy vx-szel indul jobbra, mínusz vy-nal pedig felfelé.

- x mentén a gx komponens miatt gyorsuló mozgás lesz: x = vx·t + 1/2·gx·t²

- Ebből ki tudod számolni, mikor ér a lejtő végére a labda.

- y mentén "pattogó" mozgás lesz, ami y-menti "függőleges" hajítások egymás után. Egy hajítás: y = vy·t - 1/2·gy·t²

- Ebből ki tudod számolni, mikor ér vissza y=0-ra, vagyis mennyi idő az első pattanás.

- A második lejtőt éréskor az y irányú sebesség megint vy lesz "lefelé" mármint y irányában "lefelé", úgyhogy az újabb visszapattanás megint a fenti y képlet szerint megy. Csak az x irányú sebesség nő a gx miatt, ettől elnyúlik a pattogó pálya, de az nem számít a pattogás idejében. Az is kijön ebből, hogy y mentén mindig ugyanolyan "magasra" pattan fel a labda (persze csak azért, mert nem számolunk veszteségekkel).

h = 0,5 m

A labda helyzeti energiája m·g·h, ami mozgási energiává (1/2·m·v²) alakul, miközben leér először a lejtő tetejére:

m·g·h = 1/2·m·v²

v = √(2gh) = √10 m/s

Ekkora sebességgel ütközik a lejtőre, ugyanekkora sebességgel pattan vissza róla, de nem felfelé. (csinálj rajzot)

A 30 fokos lejtő egy 30 fokos derékszögű háromszöget jelent, aminek ha 1 az átfogója, akkor a két befogója 1/2 és √3/2. Ehhez hasonló derékszögű háromszögek lesznek a következőkben:

A lejtő iránya legyen az x, a rá merőlegesen felfelé mutató irány az y. A sebességet lejtő irányú és rá merőleges komponensre érdemes bontani. Ezek a komponensek is az előzővel hasonló derékszögű háromszöget alkotnak, ezért így lehet őket kiszámolni: (ezt rajzold fel, egyébként nem érted)

vx = √10·1/2 m/s

vy = √10·√3/2 m/s

Fordítsuk el a koordináta rendszert 30 fokkal, hogy x vízszintes, y függőleges legyen. Ebben a koordináta-rendszerben az eredetileg függőlegesen ható g nehézségi gyorsulást is x és y irányú komponensekre érdemes bontani: (itt is az előzővel hasonló háromszögek lesznek, rajzold ezt is fel)

gx = g·1/2 = 5 m/s²

gy = g·√3/2 = 5·√3 m/s²

Fel lehet úgy is fogna ezt a kiegyenesített lejtőt, hogy egy gyorsuló vonatban vagyunk, ami gx gyorsulással gyorsul balra, és ebben a vonatban esik le aztán pattan vissza a labda. Viszont a nehézségi gyorsulás nem g, hanem csak gy (mert mondjuk a Vénuszon van a vonat).

Hogyan mozog most a labda az első visszapattanástól kezdve?

Az x irányú sebesség és gyorsulás komponensek kiadják a pálya x koordinátáját t idő múlva:

x(t) = vx·t + 1/2·gx·t²

Annyi idő múlva ér le a lejtőn a labda, amikor x(t) = 100 m lesz:

100 = √10/2·t + 1/2·5·t^2

5t² + √10·t - 200 = 0

Megoldóképlet:

t = (-√10 +- √(10 + 4000))/10

t = 6,016 s (a másik gyök negatív, az nem kell)

Ay y irányú sebesség és gyorsulás komponensek kiadják a pálya y koordinátáját t idő múlva. Az első újabb lejtőt érésig ez egy függőleges hajítás (az elforgatott "függőleges"-ben, szóval y-ban):

y(t) = vy·t - 1/2·gy·t²

Annyi idő múlva ér vissza a lejtőre, amikor y(t) = 0 lesz, ez az idő lesz két pattogás közötti idő:

0 = √30/2·t - 1/2·5·√3·t²

oszthatunk t-vel és szorzunk 2-vel:

0 = √30 - 5·√3·t

5·√3·t = √30

t = √10/5 = 0,632 s

Hányszor pattan? Egyszer pattant már induláskor, aztán még annyiszor, ahányszor nagyobb a teljes idő ennél a pattagás-időnél:

6,016 / 0,632 = 9,52

Vagyis az első pattanás után még lesz 9 teljes elpattanás, összesen 10. A 11-edik már nem a lejtőre esik.