Matematikában ekkor is kell kikötéseket írni?

1.) attól még kell... (eljelölöd egy betűvel, és arra írod fel a feltételt)

2.)igen kell írni, és mikor leegyszerűsíted, akkor kipipálod, hogy mindig igaz.

3.) ilyenkor is kell, ellenben 0/0 alak is konstansra vezet, holott nincs definiálva az osztas 0-val.

4.) mindig az eredetire kell. De ha ekvivalens átalakításokat végzel, akkor ugyis egyszerűbb alakba lehet fölirni a feltételeket.

1) igen

2) egyértelműen nem, ha az az érték nem nulla (ha nulla, akkor nincs megoldás)

3) Rosszul tudod, pont azért kell kikötést tenni, mert 0-val nem oszthatsz. Az egyszerűsítés is osztás. Tehát az ismeretlennel csak akkor egyszerűsíthetsz, ha az nem nulla. Azaz kell a kikötés.

4) Mindegy, ahogy neked egyszerűbb. A bonyolult és az egyszerű kifejezés ekvivalens egymással, ha HELYESEN egyszerűsítesz. De például az egész törtet nem egyszerűsítheted a kikötés előtt (lásd 3)-as pont).

A 2.)-re egyébként egy példa:

Legyen a tört:

(x^3+x-1)/

[x^2+5-{1/(1+((cos(2x)-1)/(1+cos(2x))))+(sinx)^2}*x^2].

Jó hosszú a nevező, és nem mindenki látja elsőre, hogy hogyan egyszerűsödik le.

Na ezért kell kikötés, és ha utána egyszerűsödik egy kontans értékre, akkor odaírod, hogy minden x-re értelmes a tört.

Elsőként azt kell tisztán látni, hogy nem kifejezésekre, vagy azok részeire – pl. törtekre, vagy a nevezőre – teszünk kikötéseket, hanem műveletekre. Maga a művelet az, ami bizonyos operandusok esetén értelmezhetetlen. Nullával nem lehet osztani. Negatív számból nem lehet gyököt vonni a valós számok halmazán.

Mondjuk adott az

5x/x = x+5

egyenlet. Ha nem teszünk kikötést, akkor:

5 = x+5

x = 0

Ja, csak visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy:

5*0 / 0 = 0+5

ahol a bal oldali kifejezésben nullával való osztás van, és ezért nem értelmezhető a kifejezés, tehát az egyenlet nem fog igaz lenni.

Vagy kicsit más példa:

2x = 3x

Leosztjuk mindkét oldalt x-el:

2 = 3

Az egyenletnek nincs megoldása… Látszólag. Mert ha x nulla, akkor nem oszthatok le csak úgy nullával, meg kell tenni azt a kikötést, hogy x≠0, plusz meg kell nézni, hogy mi van, ha x=0, akkor mi a helyzet. Mert úgy mindjárt van megoldás: x=0

2x = 3x

2*0 = 3*0

0 = 0

Tehát mikor egy műveletet szerepel egy kifejezésben, akkor a műveletnek megfelelő kikötéseket kell tenni. Az összeadás, kivonás, szorzás bármilyen valós operandussal értelmezhető, ezért ezeknél nincs szükség kikötésekre. Az osztás viszont nem ilyen.

~ ~ ~

> 1.) A nevező rendkívül hosszú és bonyolult, és nekem lustaságból nincs kedvem rá kikötést írni.

A tört nevezője egy osztás műveletében egy osztó. Az osztó nem lehet nulla. Ilyen szempontból teljesen mindegy, hogy a nevező egy szám, egy ismeretlen, egy (x+1)² kifejezés, egy (2x * sin²(1/ln(x²+1))) kifejezés, vagy egy 528 darab szimbólumból álló komplex kifejezés, attól még ugyanúgy nem lehet nulla ennek a kifejezésnek az értéke, így meg kell tenni a kikötést, meg kell vizsgálni, hogy a nevezőbe írt szám nulla-e, mert ha igen, akkor a megoldásnak vélt megoldás nem lesz valódi megoldás.

> 2.) Ha a nevező leegyszerűsíthető egy konstans értékre, pl. 5-re. Akkor vajon kell írni a nevezőre kikötést?

Ahogy írtam, nem a kifejezésre, hanem műveletekre teszünk kifejezést. Ha egyszerűsítünk, akkor bizonyos kifejezések helyére egyszerűbb, kevesebb összetevőből álló kifejezést írunk. De az eredeti kifejezésnél meg kell vizsgálni, hogy mi milyen viszonyban áll.

2.a) Ha a nevező egyszerűsítésnél nincs olyan művelet, amit kikötést igényel, és így jön ki nullától eltérő konstans, akkor nyilván az soha nem lesz nulla, így felesleges kikötést tenni.

Pl.:

(x+1) / [(4x + 10)/2 - 2x] = 1

A nevező:

(4x + 10)/2 - 2x = 2x + 5 - 2x = 5

Tehát a nevező egy nullától eltérő konstans, nincs olyan x, amire ne lenne az, így az osztásnál egy nem nulla értékkel fogunk osztani, bárhogy is írjuk fel a nevezőt, akár úgy, hogy 5, akár úgy, hogy 2x+5-2x, akár úgy, hogy (4x+10)/2-2x.

Vagy fogalmazhatunk úgy, hogy mivel a

(4x + 10)/2 - 2x = 0

egyenletnek nincs megoldása, így nem kerülhet a nevezőbe nulla, ezért nem kell kikötést tenni.

2.b) Ha viszont az egyszerűsítés maga okoz kikötéseket, akkor veszélyes a dolog. Pl.:

(x+1) / [5(x-1)/(x-1)]

Itt szokott az a hiba előfordulni, hogy „egyszerűsítünk (x-1)-el”. Úgy nyilván egy konstanst kapunk, ami bármelyik x esetén 5-el lesz egyenértékű. Hát de nem. x=1 esetén nem nulla lesz a nevező, hanem egy nem értelmezhető kifejezés, amivel ugyanúgy nem lehet osztani. Tehát az (x-1)≠0 kikötést nem a nagy tört miatt, hanem a nagy tört nevezőjében található kis tört miatt kell megtenni.

Ergo ez nem is felel meg a kritériumodnak igazán, az 5(x-1)/(x-1) nem konstans!

> 3.) Ha a tört értéke egyenlő egy konstans értékkel, pl. 5-tel. A számlálóban és a nevezőben is van ismeretlen. De (szerintem) fölösleges ilyenkor rá kikötést írni, hiszen úgyis egy konstans lesz az eredmény. Szóljatok, ha rosszul gondolkodom.

Ha a tört értéke konstans, akkor a nevezőben nem lehet ismeretlen. Ha van ismeretlen, akkor van olyan ismeretlen, amire a tört nevezője nullának adódhat, a tört nem lesz értelmezhető, így nem lehet konstans, így kell tenni kikötést. Lásd az 5x/x kifejezést, ami !nem! konstans.

> 4.) Ez egy kicsit eltérő lesz a többi kérdéstől. Mikor kell kikötést írni a nevezőre? Egyszerűsítés előtt vagy után?

Ha az egyszerűsítés során tettünk kikötést, akkor tettünk, ha az így kapott egyszerűsített nevező olyan, amire nem kell kikötést tenni, akkor nem kell. Nyilván a 2.a) esetben mindegy, hogy teszel-e kikötést, hiszen maga az egyszerűsítés során olyan műveleteket végeztél, amik nem igényeltek kikötést. Persze ha az egyszerűsítés után még mindig van ismeretlen a nevezőben, akkor arra is kell külön kikötést tenni. Pl.:

(x+1) / (x³/x - 4)

Az x³/x miatt x≠0. Ha x=0, akkor az x³/x nem lesz értelmezhető, tehát kikötést kell tenni rá.

Viszont egyszerűsítés után – immár az x≠0 kikötéssel – a nevezőben marad ismeretlen:

(x+1) / (x² - 4)

Ekkor erre is kell kikötést tenni:

x² - 4 ≠ 0

x² ≠ 4

x ≠ ±2

Ilyen szempontból mindegy, hogy az egyszerűsítés előtt vagy után teszed meg a kikötést.

Mivel x≠0 esetében

x³/x - 4 ≠ 0

ugyanazt jelenti, mint az

x² - 4 ≠ 0

Lásd:

x³/x - 4 ≠ 0

x³/x ≠ 4

x³ ≠ 4x

x² ≠ 4

x ≠ ±2

Mindegy, mert a nem egyszerűsített kifejezés kikötésével keletkező egyenlőtlenséget is egyszerűsítésekkel fogod elvégezni.

Vedd észre, ha egy kifejezés – a kikötések érvényessége esetén – egy adott értéket képvisel egy adott ismeretlen esetén, akkor ugyanezt az értéket fogja képviselni az egyszerűsítés után is. Azért mindegy, hogy az

x² - 4 ≠ 0

kikötést, vagy a

x³/x - 4 ≠ 0

kikötést írod fel – nyilván x≠0 esetén –, mert

x³/x - 4 = x² - 4

"1.) A nevező rendkívül hosszú és bonyolult, és nekem lustaságból nincs kedvem rá kikötést írni."

Igen, kell.

"2.) Ha a nevező leegyszerűsíthető egy konstans értékre, pl. 5-re. Akkor vajon kell írni a nevezőre kikötést?"

Az egyszerűsítés gyakorlatilag annyit jelent, hogy te látod, hogy x=valahány pontban nincs értelmezve, ezért azt a pontot önkényesen kiveszed, mert lényegtelen a számolásban. De attól még abban a pontban nem lesz értelmezve, tehát azt le kell írnod ugyanúgy!

"3.) Ha a tört értéke egyenlő egy konstans értékkel, pl. 5-tel. A számlálóban és a nevezőben is van ismeretlen. De (szerintem) fölösleges ilyenkor rá kikötést írni, hiszen úgyis egy konstans lesz az eredmény. Szóljatok, ha rosszul gondolkodom."

Rosszul gondolod. Nem a végeredmény számít, hanem maga a tört, ami egy függvény. Pl. ha a nevezőben az van, hogy "x+5", akkor azt fel tudod rajzolni egy függvényként a koordinátarendszerben. Viszont a tört miatt ez a függvény valahol nem lesz értelmezve, ezért kikötést kell tenned.

"4.) Ez egy kicsit eltérő lesz a többi kérdéstől. Mikor kell kikötést írni a nevezőre? Egyszerűsítés előtt vagy után? Azaz pl. ha egy hosszú és bonyolult nevezőt én egy sokkal egyszerűbb alakra hozok, akkor melyik alakjára kell kikötést írni? Az egyszerűre és a bonyolultra is?"

Amikor akarod. Az egyszerűsített kifejezés az eredetivel ekvivalens, szóval ugyanannak a kikötésnek kell kijönnie.