Sin3x=sin2x?

Egy hasonló feladatot tudok ajánlani:

[link]

Ez alapján már megy?

Ha a szinuszfv. a teljes értelmezési tartományban szigorúan monoton lenne, akkor simán lehetne írni, hogy 3x=2x, amiből x=adódna. Egy exponenciális egyenletnél tipikusan így lehet eljárni.

De nem szigorúan monoton, csak szakaszonként, ezért a 360°-os periódust figyelembe kell venni:

3x=2x+k*360°. A periódust elég csak az egyik oldalra kiírni, ez belátható. Itt k=0,+-1,+-2,...

Tehát x=k*360°jön ki, ha úgy tetszik, x=2k*pi.

Látható, hogy a k=0 eset föntebb is kiadódott, de ez csak egy adott intervallumban lévő megoldás.

Folytatás: A 3x=180°-2*x+L*360° egyenlőségnek is teljesülnie kell, azaz

5x=(1+2L)*180°, azaz x=(1+2L)*36°.

Ahol L=0,+-1,+-2,...

Ilyen alakú trigonometrikus egyenleteknél én azt preferálom, hogyha koszinuszra térünk át, ehhez csak a sin(x)=cos((pi/2)-x) összefüggést kell használni. Eszerint sin(3x)=cos((pi/2)-3x) és sin(2x)=cos((pi/2)-x), tehát az egyenlet:

cos((pi/2)-3x) = cos((pi/2)-2x)

Azért jobb a koszinusszal számolni, mivel tudjuk, hogy a cos() függvény páros, ami azt jelenti, hogy ugyanúgy számolunk, mint például a másodfokú egyenletnél; az x^2=9 megoldásai x=+-3. Hasonló módon itt is az lesz, hogy

(pi/2)-3x = +-((pi/2)-2x+k*2pi)

Szerintem ez az eljárás egy kicsit átláthatóbb, de kinek mi.