Az n mely egész értékei mellett lesz az (n^3-n-3) / (n-2) tört értéke egész szám?

Első körben érdemes észrevenni, hogy ha a törthöz hozzáadunk 1-et, vagyis (n-2)/(n-2)-t, akkor a számlálóban egy kicsit egyszerűbb kifejezést kapunk, nevezetesen n^3-5-öt. Lévén ezzel még mindig egész marad a végeredmény, ezért már csak (n^3-5)/(n-2)-re vizsgálódunk.

Azt tudjuk, hogy ha a számlálóban n^3-8 lenne, akkor abból kiemelhető lenne n-2, így a számlálót alakítsuk ilyen alakra, ehhez kivonunk belőle 3-at, de hogy értéke ne változzon, hozzá is adjuk azt:

(n^3-8+3)/(n-2), ez pedig a tanultak alapján szétbontható összegalakra:

(n^3-8)/(n-2) + 3/(n-2)

Az első tag biztosan egész, mivel kiemelhető belőle az n-2, így már csak a 3/(n-2)-re kell koncentrálnunk; ez akkor lesz egész, hogyha (n-2)|3, ez pedig négy darab esetben lesz így:

n-2=3, tehát n=5

n-2=1, tehát n=3

n-2=-1, tehát n=1

n-2=-3, tehát n=-1

Még azt kellene megnézni, hogy az eredeti tört számlálója lehet-e 0, mivel akkor 0/akármi(ami nem 0)=0. Tehát n^3-n-3=0 egyenletet kell megoldani. Alakítsuk ilyen alakra az egyenletet:

n*(n^2-1)=3, ennek csak akkor lehet megoldása, hogyha n|3, tehát n lehetséges értékei: -3;-1;1;3, ezekre azonban nem fog teljesülni az egyenlőség, tehát a számláló sosem lesz 0, ha n egész.

Ezzel megtaláltuk az összes megoldást.