Hat egész szám átlaga 5, mediánja 3, módusza 1 és 3. Mekkora lehet a legnagyobb szám?

A hat számod: A,B,C,D,E,F

Mivel a módusz csak olyan szám lehet, ami szerepel is az alapsokaságban, ezért a 6-ból két számot ismersz.

1,3 +C,D,E,F

A módusz ugye azt az értéket jelöli, ami a leggyakrabban előfordul a sokaságban. Mivel kettő is van, a kettőnek ugyanannyiszor kell előfordulnia. Az 1 és a 3 nem egyszer fordul elő, hiszen akkor a többi 4 számot is megadták volna móduszként. 3-szor nem fordulhatnak elő, hiszen akkor sem az átlag, sem a medián nem annyi, amennyit írnak. Vagyis mind az 1-es, mind a 3-as kétszer szerepel. Tehát már 4 számot ismerünk.

1,1,3,3 +E,F

A medián a sokaság "közepén" lévő szám, vagy, ha a sokaság páros elemű, a két középső szám átlaga. Mivel itt ez utóbbi áll fenn, és ez egész szám, joggal feltételezhetjük, hogy a sokaság 3. és 4. tagja az a 3-as.

Tehát a sorrendünk: 1 1 3 3 E F.

Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy E,F>3, viszont egyenlők már nem lehetnek 3-mal, mert akkor a módusz csak a 3-as lenne.

Itt jön segítségünkre az az információ, hogy a számok átlaga 5. Ez alapján a következőt írhatjuk fel:

(1+1+3+3+[E+F])/6 = 5

8+[E+F]=30

E+F=22.

Magyarán szólva a még két ismeretlen szám összegének 22-nek kell lennie. Korábban megállapítottuk, hogy mindkét számnak nagyobbnak kell lennie 3-nál, így az alábbi kombinációkat kapjuk:

4-18; 5-17; 6-16; 7-15; 8-14; 9-13; 10-12; 11-11;

A legutolsót eleve kizárhatnánk, hiszen a két szám nem lehet egyenlő (hiszen akkor az is módusz lenne), de nincs rá szükség, hiszen ránézésre meg tudjuk állapítani, hogy az első, vagyis a 4-18 kombináció az, amit keresünk.

Vagyis a 6 szám: 1,1,3,3,4,18

Gyors ellenőrzés:

Átlaguk: 18+4+3+3+1+1= 30 --> 30/6=5 - pipa

Medián: 3 - pipa

Módusz: 1,3 - pipa.

Vagyis a legnagyobb szám 18 lehet.