Helyettesítéses integrál?

"Értem hogy az u= x^2+4 "

Rosszul érted.

u= x/2 ezt írja

Vagyis:

2u = x

emiatt dx = 2du

Így jön a számlálóba a 2-es.

Illetve négyzetre emelve:

x^2 = 4^2

Tehát x^2 helyére beírja, hogy 4u^2.

Tehát 2 lépést csinál egymás után:

1/(x^2+4)dx =>dx cseréje du-ra=> 2/(x^2+4) du => x cseéje u-ra => 2/(4u^2+4)du

"de miért lesz x/2 ?

Helyettesítéses integrálnál nem a belső függvényt kellene helyettesíteni? Ami itt az x^2+4

"

Nem. Azt helyettesítesz, amit csak akarsz.

Ha nekem van egy egyenletem, hogy

16x^4 + 4x^2 + 8 = 0

Akkor én azt helyettesítek benne, amit akarok.

Helyettesíthetem az x^2 = u-t is, hogy másodfokút kapjak.

Meg helyettesíthetem a 4x^2 = u-t is.

Helyettesíteni bármit lehet, mert a végeredményt nem befolyásolja, hogy én x-el számolok vagy u-val.

Ugyanez igaz az integrálásra is.

Erre nincs szabály, hogy mikor mit kell helyettesíteni. Azt, amivel kijön egy egyszerűbb alak.

Ha nem tudod mivel jön ki egyszerűbb alak, akkor próbálkozhatsz többféle helyettesítéssel. Ami helyettesítéssel megoldható az mindig megoldható helyettesítés nélkül is, csak helyettesítve egyszerűbb/áttekinthetőbb szokott lenni.

Például itt 1/(x^2 + 4) van és azt szeretnénk elérni, hogy 1/(valami^2+1) legyen mert annak tudjuk a primitív függvényét.

Kiemelek a nevezőben 4-et:

1/4*((x/2)^2+1) = 1/4 * 1/[(x/2)^2+1]

voalá a kívánt alakra hoztuk.

Ezért helyettesíti az u=x/2-t