Helyettesítéses integrálásnál, amikor behelyettesítem g (x) helyére mondjuk u-t. és u-t x szerint deriválom. Akkor utána mi az a felszorzás dx-szel? Ezt miért tehetem meg?

A du/dx határérték, mégpedig az (u(x)-u(x₀))/(x-x₀) határértéke, amikor x tart x₀-hoz. Az tehát egy hányados, mégpedig a differencia hányados, ami ugye osztás. Így már át lehet szorozni vele. (Persze ezt matematikailag ennél sokkal precízebben kellene bizonyítani, hogy miért tehető meg, hogy dx-szel átszorzunk.)

Azért lehet, mert látszólag ez történik. Legyen a függvény mondjuk f(x). Ennek a primitív függvénye F(x)=\int f(x) dx. Na de mi van, ha x=x(t)? Akkor valójában F(x(t))=\int f(x(t)) dx. Ugyanakkor azonban f(x(t))=(F(x(t)))'=F'(x(t))x'(t), eszerint F(x(t)=\int f(x(t)) x'(t) dt. Azaz dx= x'(t) dt, ami látszólag a \frac{dx}{dt}=x'(t) átalakításával adódott.