Differenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval? Hogy kell?

Példa: Határozzuk meg az y' − y = 2x + 2 differenciálegyenlet y(0) = −2 kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldását!

Megoldás: Jelöljük y Laplace-transzformáltját y¯-nal!

sy¯ − y(0) − y¯ = 2/s^2 + 2/s

sy¯ + 2 − y¯ = 2/s^2 + 2/s

y¯ (s − 1) = 2/s^2 + 2/s -2 = (-2s^2 + 2s + 2)/s^2

y¯ =(-2s^2 + 2s + 2)/(s^2(s - 1))

(-2s^2 + 2s + 2)/(s^2(s - 1)) = A/s + B/s^2 + C/(s-1)

-2s^2 + 2s + 2 = As(s-1) + B(s-1) + Cs^2

s = 1:

2 = C

C = 2

s = 0:

2 = -B

B = -2

s^2:

-2 = A + C

A = -4

y¯ = (-2s^2 + 2s + 2)/(s^2(s - 1)) = - 4/s - 2/s^2 + 2/(s-1)

y = - 4 - 2x + 2e^x

A középső részben érdekelne hogy mit csináltunk főleg, amikor bejött az A,B,C változó. Mi alapján lett szétválasztva az egyenlet nevezője és utána hogy számoltuk ki az A,B,C változókat?