Hogyan oldanátok meg ezt a két feladatot?

a1 + b1 = 3

a1 - b1 = -1

==> b1 = 2, a1 = 1

a2 + b2 = -1

a2 - b2 = 5

==> b2 = -3, a2 = 2

==> a(1;2), b(2;-3)

A skaláris szorzat: |a| * |b| * cosφ

|a| = GYÖK(1² + 2²) = GYÖK(5) = 2,236

|b| = GYÖK(2² + 3²) = GYÖK(13) = 3,606

Most ki kellene számolni, melyik vektor mekkora szöget zár be az (1;0) vektorral.

tg1 = 2 ==> φ1 = 63,43 fok

tg2 = 3 / 2 = 1,5 ==> φ2 = 56,31 fok, azaz -56,31 fok.

A két vektor közötti szög: 63,43 fok - (-56,31) fok = 119,74 fok

A skaláris szorzat: 2,236 * 3,606 * -0,496 = -4

1.) Skalárszorzat (másik def): a*b = a1*b1 + a2*b2 = … (Tessék helyettesíteni, amit 12:54 kiszámolt, az jó.)

2.) Elég olvashatatlan az ábra, például 2 Q pont van, de gondolom, valami olyasmi a lényeg, hogy a P, Q, R pontok rendre az AB, BA és CA szakaszok felezőpontjai szeretnének lenni. (Illetve nem rendre, a sorrendet majd kibogozod, vagy csinálsz egy normális ábrát, de a megoldás gondolatmenetén nem változtat.)

Ekkor ugye

(1): p = (a + b)/2 --> 2*p = a + b,

(2): q = (b + c)/2 --> 2*q = b + c,

(3): r = (c + a)/2 --> 2*r = c + a.

Ha megnézed, akkor itt a jobb oldalon mindig két-két ismeretlen vektor összege szerepel. Ha ezt a kettőt le tudnánk vonni a 3 összegéből, akkor pont megkapnánk a 3.-at. Tehát adjuk össze a három egyenletet:

(1) + (2) + (3): 2*(p + q + r) = a + b + b + c + c + a = 2*(a + b + c),

(4): p + q + r = a + b + c.

(4) – (2): a = p + q + r – 2*q = +p – q + r,

(4) – (3): b = p + q + r – 2*r = +p + q – r,

(4) – (1): c = p + q + r – 2*p = –p + q + r.

Már csak helyettesíteni kell. (Meg ugye kibogozni a sorrendet.)