Gyakorlati matematikai feladat. Miként lehetne becslő számítást végezni?

Értelemszerűen a kis körök összterülete nem lehet nagyobb, mint a nagy kör területe, tehát:

(D/2)^2*pi >= N*(d/2)^2*pi, erre (D/d)^2 >= N-et kapjuk.

A konkrét példánál maradva;

10^2*pi >= N*1,5^2*pi, vagyis

~44,44 >= N, tehát legfeljebb 44 darab 3 mm átmérőjű kör rakható bele a nagy körbe. Ez nem jelenti azt, hogy 44 belerakható, csak azt, hogy ennél több nem kerülhet bele.

Egy pontosabb becslés adható a területkitöltési arányt is figyelembe véve.

Ha végtelen lenne a felület, fel lehetne osztani egyenlő oldalú háromszögek rácsára, aminek az oldalhossza 3 mm. Minden háromszög csúcsára teszünk egy érmét. Egy ilyen háromszög minden sarkára a kis kör 1/6 része jutna, így két ilyen háromszög területének összegére jutna egy teljes kis környi terület. (A továbbiakban jelöljük a kis kör átmérőjét d-vel)

Az egyenlő oldalú háromszög területe: √3 / 4 * d²

Két ilyen háromszög együttes területe: √3 / 2 * d²

A kis kör területe: (d/2)² * π = d² / 4 * π

A kis kör és a két háromszög aránya: (d² / 4 * π) / (√3 / 2 * d²) = π / (2√3) ≈ 0,906899.

Magyarra lefordítva a kis körök a felület kb. 90%-át fedik le (a maradék kis körök közötti űr).

A kis kör és a nagy kör átmérőjének aránya 3/20, ezért a területük aránya 9/400. A 400-nak kell venni a 90,6899%-át, ami kb. 362, és meg kell nézni, hogy ebben hányszor van meg a 9 (40,3). Ebből az jön ki, hogy kb. 40 kis kör fog ráférni a nagy körre.

Nos. Nem sokat foglalkoztam hasonló témával, de egy kicsit továbbgondolva rájöttem, hogy igencsak mély a nyúl ürege.

A háromszögrácsos elrendezés kvázi visszavezethető arra – viszonylag jó közelítéssel –, hogy egy hexagonális rácsban adott sugarú körön belül hány hatszög helyezhető el. Nem gondoltam nagyon végig a dolgot, de ezt találtam:

[link]

Persze ez a szabályos elrendezés nem az ideális helykitöltést adja meg. Viszont találtam egy listát, ami a valóban ideális helykitöltéssel tartalmazza, hogy egy körön belül hány kis kör helyezhető el, a táblázatban benne van, a tényleges felületkitöltési arány is. (Amúgy ez egy oszcilláló görbe lesz.) Ha valóban gyakorlati kérdésről van szó, akkor 5000 kis körig akár ez a táblázat is használható:

[link]

De azt hiszem én itt szálltam ki a téma továbbgondolásából. n-ed fokú polinom illesztésével lehet akár függvényt is kreálni belőle akár a maximális, akár a minimális, akár az átlagos kis körök számára a körök sugara arányának függvényében, akár a területkitöltési arányra is.