Legfeljebb hány háromszöget határoz meg a térben 12 pont?

Teljesen mindegy, hogy két-, három-, négy-, vagy sokdimenziós teret veszünk, a háromszöghöz három pont kell.

Egy háromszög első csúcsát 12 pontból tudjuk kiválasztani. A második csúcsát 11 pontból, a harmadikat 10 pontból. Ez 12*11*10=1320 különböző lehetséges ponthármast jelent. Csakhogy ponthármasok össze permutációja benne van ebben. Mivel az ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA háromszögek azonosak, ezt a 1320-at el kell osztani a három pont összes permutációinak számával (3! -al, azaz 6-al). Ez 1320/6 = 220 darab különböző háromszöget jelent.

Ha matematikailag kissé korrektebben akarom megfogalmazni, akkor ez egy ismétlés nélküli kombináció. Lásd: [link]

Általánosítva n pont esetén maximálisan (n alatt k) = n! / (k! * (n-k)!) darab háromszöget lehet alkotni a pontokból. n=12 esetén ez:

C = 12! / (3! * (12-3)!) = 479001600 / (6 * 362880) = 220

"Teljesen mindegy, hogy két-, három-, négy-, vagy sokdimenziós teret veszünk, a háromszöghöz három pont kell. "

Ehhez még azt is hozzá lehet tenni, hogy 3 pont mindig egy síkban van.

A háromszög mindig egy síkidom, akkor is ha a csúcsai "elszórva" vannak a térben.

A négyszögre ez már nem igaz, például egy tetraéder 4 csúcsa nem határoz meg síkidomot.