Hogyan tudom ennek a függvénynek meghatározni a maximumértékét 3sin (x) +4cos^2 (x)?

Nem tudom a konkrét megoldását, de hátha segít, hátha a leírtak miatt (vagy azok ellenére) eszedbe jut valami:

Pitagoraszi azonosság:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 --> cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Behelyettesítés:

3sin(x) + 4(1 - sin^2(x)) =

Zárójel felbontása:

3sin(x) + 4 - 4sin^2(x) =

Rendezés:

-4sin^2(x) + 3sin(x) + 4 = max

Mivel eddig jutottam most hirtelen, ábrázolnám a két sin függvényt, megnézném, hogy az összegük kb. hol, vagyis mely x-ek esetében a legnagyobb. Ezután behelyettesíteném, és kapnék egy nem precíz nem megoldást. :D De legalább talán közelíti.

Kíváncsian várom a normális megoldást! :D

Kár, hogy nem fejezted be a levezetést, mert nem sok kell már innen.

cos^2x = 1-sin^2 x

Vagyis ez:

3*sin(x) +4 - 4*sin^2 (x)

Ez sin(x)-ben másodfokú! A másodfokú tag előjele negatív, ezért maximuma van.

És a maximum hely a két gyök átlaga.

Az egyszerűség kedvéért, írjuk át y=sin(x)-re:

-4y^2 + 3y + 4 -->max

Ezt meg lehet oldani teljes négyzetté alakítással, vagy deriválással, vagy a gyökök kiszámolásával és az átlaguk megkeresésével.

Mondjuk deriválással:

-8y + 3 = 0

y = -3/8

sin(x) = -3/8 -nál lesz maximum.

Ezt az egyenletet kell megoldani, hogy kijöjjön az x.

Vagy ha elég a maximum érték, akkor csak a (-3/8)-ot kell visszaírni.