Mi lehet a megoldás? (Mértan)

Ezt a fajta feladatot többféleképpen is meg lehet oldani. A legegyszerűbb talán az, ha kiszámolsz mindent ami kell a megoldáshoz. Én így csinálnám:

Az alap adatokból kiszámolható a C csúcsban lévő szög nagysága. Ebből, és hogy tudjuk hogy PN=NC kiszámolható az N pontban a PC felé nyíló szög is. Ekkor erre a szögre, a PN és NC szakaszra fel lehet írni a koszinusztétel, amivel meg lehet kapni PC nagyságát. Ha ez megvan, akkor ebből már kiszámolható az MPC háromszög területe.

A c) feladatrésznél ugyanígy, ha kiszámolsz mindent akkor annyi adatból már meg lehet állapítani hogy rombusz-e vagy sem.

> Az külön be kell bizonyítani, hogy a P szög derékszögű? Vagy ez magától értetődik?

Be kell. Ebből (és hogy a Q is derékszögű) azonnal adódik a c) és a b).

Ez a két derékszög meg a (körre és derékszögre vonatkozó) Thalész-tételből jön ki.

Egy lehetséges megoldási ábra, ami csak a hasonlóságot használja:

[link]

Persze; először az M-ből induló magasságot húztam be, ez az ABC háromszögből egy ahhoz hasonló háromszöget vág le, ahol a hasonlóság aránya 5/15=1/3, a magasság pedig az AC oldalhoz hasonul, tehát a magasság hossza 12*(1/3)=4 cm, Pitagorasz tételéből pedig kijön, hogy a BA oldal "két alsó" része 3-3 cm hosszú, így a "felső rész" is 3 cm hosszú lesz.

Ezek után jött a PNC háromszög magassága, ami hasonló metódussal jött ki, mint az előbb, ugyanígy az AC oldal részei.

Az jött ki, hogy a QAP derékszögű háromszög két befogója 3 és 4 cm hosszú, így Pitagorasz tételéből a PQ szakasz hossza 5 cm.

A PMC derékszögű háromszög területéhez kell a PM szakasz hossza, ez pedig abból jön ki, hogy a BMQ és az MQP háromszögek egybevágóak (a két 5 cm-es oldal és a közrezárt szögük ugyanakkora), így a PM szakasz hossza megegyezik a BQ szakasz hosszával, vagyis 3+3=6 cm-es.