Hogy kell megoldani ezt az egyenlőtlenséget?

Először használjuk az addíciós képletekat;

sin(2x)=2*sin(x)*cos(x), ennek a négyzete 4*sin^2(x)*cos^2(x)

cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x), ezeket felhasználva ezt az egyenlőtlenséget kapjuk:

5*sin^2(x) + 4*sin^2(x)*cos^2(x) > 4*(cos^2(x)-sin^2(x))

Most egy újabb azonosságot használunk fel: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Mivel van sin^2(x) is, cos^2(x) is, és ezeken kívül nincs más, ezért szabadon eldönthető, hogy melyiket akarjuk kifejezni, én most cos^2(x)-et fogom: cos^2(x) = 1-sin^2(x), erre lecseréljük az összes cos^2(x)-et:

5*sin^2(x) + 4*sin^2(x)*(1-sin^2(x)) > 4*(1-sin^2(x)-sin^2(x)). Mivel most mindenhol sin^2(x) van, ezért a jobb áttekinthetőség kedvéért cseréljük le ezeket z-re:

5*z + 4*z*(1-z) > 4*(1-z-z), ebből egy másodfokú egyenlőtlenséget kapunk, melynek megoldásai: 1/4<z<4. Mivel z eredetileg sin^2(x) volt, ezért a megoldás: 1/4<sin^2(x)<4. Azt tudjuk, hogy a sin^2(x)<4 mindig teljesülni fog, mivel a sin(x) minimuma -1, maximuma -1, így a négyzete is legfeljebb 1 lehet. Amit meg kell még oldanunk, az az

1/4<sin^2(x) egyenlőtlenség. Ebből két egyenlőtlenséget kapunk gyökvonás után:

1/2<sin(x), ezt megoldod,

-1/2>sin(x), ezt is. A két megoldáshalmaz úniója lesz az eredeti egyenlőtlenség megoldáshalmaza.