Analízis 1. az 1 egység térfogatú felül nyitott négyzet alapú gúlák közül melyiknek legkisebb a felszíne?

Válaszolnék, ha ezt megérteném:

"felül nyitott négyzet alapú gúlák"

Ja! Egy négyzetes gúla, hegyével lefelé fordítva!

Egy ismeretlennel felírod a a térfogatot, majd a felszínt, deriválom, zérushelyet keresek.

Így gondoltam az előző válaszban:

[link]

Így érthető?

Első körben a gúla térfogatának számítását érdemes tudni:

V(gúla) = T(alap)*M/3, tehát a gúla térfogatát úgy kapjuk meg, hogy a gúla alapterületét megszorozzuk a testmagasságggal, majd a szorzatot osztjuk 3-mal. Lévén négyzet alapú gúla van, ezért az alap területét könnyedén meg tudjuk adni; ha az alapél hossza x, akkor az alapterület x^2. Mivel adott, hogy a térfogat 1, ezért:

1 = x^2*M/3, ebből megtudjuk a magasságot:

3/x^2 = M.

A test felszíne az azt határoló lapok összterülete. Mivel ezt a testet 4 darab egyenlő szárú háromszög határolja, ezért szükségünk van legalább 1 oldalára és az ahhoz tartozó magasságára vagy egy szögére, ami azon fekszik. Eddigi tanulmányaink alapján a háromszög magasságát tudjuk a legkönnyebben meghatározni; vágjuk félbe a gúlát az alaplapra merőleges síkkal a csúcs mentén az alapélekkel párhuzamosan, ekkor a keletkezett sík egy egyenlő szárú háromszög lesz, ahol az alap megegyezik a négyzet oldalával (mivel az a négyzet középvonala), vagyis x lesz, az ehhez tartozó magasság a testmagassággal, tehát az 3/x^2 lesz, a szárak pedig az oldalapháromszögek magasságával (apotémájával) egyeznek meg. Ha a szárakat m-mel jelöljük, akkor az alaphoz tartozó magasságával olyan derékszögű háromszögeket kapunk, melyeknek befogói 3/x^2 és x/2 hoszzúak (a magasság felezi az alapot, ezért a /2), átfogója m, így Pitagorasz tétele szerint:

(3/x^2)^2 + (x/2)^2 = m^2, amire

gyök( 9/x^4 + x^2/4 ) = m-et kapjuk.

Így már minden adott, hogy kiszámoljuk a háromszögek összterületét; 1 háromszög területe x*gyök( 9/x^4 + x^2/4 )/2, ebből van 4 darab, tehát 4*x*gyök( 9/x^4 + x^2/4 )/2 lesz az összterület. Nem muszáj, de ezt még lehet egy kicsit pofozni, és gyök ( 36/x^2 + x^4 ), ennek kell kideríteni a szélsőértékét. Szerencsére a gyökvonás nem befolyásolja a szélsőértéket, ezért elég csak a 36/x^2 + x^4 szélsőértékét vizsgálni; deriváljuk a függvényt:

(36/x^2 + x^4)' = 4x^3 - 72/x^3. Arra hajtunk, hogy ez 0 legyen, tehát:

4x^3 - 72/x^3 = 0, ez pedig egy nagyon egyszerűen megoldható egyenlet, mellnyek két valós megoldása van; x=+hatodikgyök(18) és x=-hatodikgyök(18), de mi pozitív x-eket keresünk, tehát a +hatodikgyök(18)-cal foglalkozunk.

A kérdésre a válasz az, hogy annak a legkisebb a felszíne, amelynek az alapéle hatodikgyök(18) egység a hossza.